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対角成分が2でその周りが-1でそれ以外は0の行列の固有値を求める

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$$ N次正方行列\begin{pmatrix} 2&-1&\,&O\\ -1&2&\ddots&\,\\ \,&\ddots&\ddots&-1\\ O&\,&-1&2 \end{pmatrix}の固有値は\lambda_p=4\sin^2\frac{p\pi}{2(N+1)}\quad (p=1,\cdots,N) $$

この記事では、上記のことを示したいと思います。ただし答えを出すだけだと面白くない上にこれを思いついたのは物理のおかげなので多分に物理に絡めて話します。
まず、規準座標についてです。(規の方がかっこいいのでこっちを使うことにします)座標($x_1,\cdots,x_N$)に対して規準座標を

規準座標

座標($x_1,\cdots,x_N$)の線形和であって単振動の式を満たし、係数ベクトルが規格化されているもの

で定義します。今回は、両端の固定端の間に$N$個の質点と$N+1$個のばねが一直線に取り付けられている状況を考えます。簡単のため、質点の質量をすべて$m$とし、ばね定数を$k$とします。左から順に各質点を数えることにして、すべてのばねが自然長であるときの位置からの$p$番目の質点の変位を$x_p$にとります。このとき、系のポテンシャルエネルギー$U$
\begin{align*} U=\frac{1}{2}k\sum_{p=1}^{N+1}(x_p-x_{p-1})^2\quad (ただしx_0=x_{N+1}=0) \end{align*}
より、質点$p$における運動方程式は
\begin{align*} m\frac{d^2x_p}{dt^2}=-\frac{\partial U}{\partial x_p}=-k(2x_p-x_{p-1}-x_{p+1}) \end{align*}
ここで、つぎの等式を証明します。

$$ \sum_{p=1}^{N}\sin\frac{pq\pi}{N+1}\,(2x_p-x_{p-1}-x_{p+1})=4\sin^2\frac{q\pi}{2(N+1)}\sum_{p=1}^N\sin\frac{pq\pi}{N+1}x_p\quad (qは1\le q\le Nの整数) $$

ただし$x$$\sin$の引数にかかっていません。

頑張って計算するだけです。
$$ \begin{align} \sum_{p=1}^{N}\sin\frac{pq\pi}{N+1}x_{p-1}&=\sum_{p=1}^{N}\sin\frac{(p+1)q\pi}{N+1}x_{p}-\sin\frac{(N+1)q\pi}{N+1}x_N\\ &=\sum_{p=1}^{N}\left(\sin\frac{pq\pi}{N+1}\cos\frac{q\pi}{N+1}+\cos\frac{pq\pi}{N+1}\sin\frac{q\pi}{N+1}\right)x_p \end{align} $$
$$ \begin{align} \sum_{p=1}^{N}\sin\frac{pq\pi}{N+1}x_{p+1}&=\sum_{p=1}^{N}\sin\frac{(p-1)q\pi}{N+1}x_{p}-\sin0\,x_1\\ &=\sum_{p=1}^{N}\left(\sin\frac{pq\pi}{N+1}\cos\frac{q\pi}{N+1}-\cos\frac{pq\pi}{N+1}\sin\frac{q\pi}{N+1}\right)x_p \end{align} $$より
$$ \begin{align} (左辺)&=\sum_{p=1}^{N}\left(2\sin\frac{pq\pi}{N+1}-2\sin\frac{pq\pi}{N+1}\cos\frac{q\pi}{N+1}\right)x_{p} \\ &=4\sin^2\frac{q\pi}{2(N+1)}\sum_{p=1}^N\sin\frac{pq\pi}{N+1}x_p=(右辺)\quad (\because 半角公式) \end{align} $$

この補題から
$$ \begin{align} \frac{d^2}{dt^2}\left(\sum_{p=1}^{N}\sqrt{\frac{2}{N+1}}\sin\frac{pq\pi}{N+1}x_{p}\right)&=\sum_{p=1}^{N}\sqrt{\frac{2}{N+1}}\sin\frac{pq\pi}{N+1}\frac{d^2x_p}{dt^2}\\ &=-\frac{k}{m}\sqrt{\frac{2}{N+1}}\sum_{p=1}^{N}\sin\frac{pq\pi}{N+1}\,(2x_p-x_{p-1}-x_{p+1})\\ &=-\frac{k}{m}\sqrt{\frac{2}{N+1}}4\sin^2\frac{q\pi}{2(N+1)}\sum_{p=1}^N\sin\frac{pq\pi}{N+1}x_p\\ &=-\frac{k}{m}4\sin^2\frac{q\pi}{2(N+1)}\left(\sum_{p=1}^{N}\sqrt{\frac{2}{N+1}}\sin\frac{pq\pi}{N+1}x_{p}\right) \end{align} $$
よって
$$ Q_q=\sum_{p=1}^{N}\sqrt{\frac{2}{N+1}}\sin\frac{pq\pi}{N+1}x_{p}\quad\quad \omega_q=2\sin\frac{q\pi}{2(N+1)}\sqrt{\frac{k}{m}} $$
とすれば
$$ \frac{d^2}{dt^2}Q_q=-\omega_q^2Q_q $$
となって単振動の式を満たすことが分かります。わざわざ変な係数を付けたことから分かると思いますが、これは実際に規準座標になっています。そのことは次の補題からただちにわかります。

$$ \frac{2}{N+1}\sum_{p=1}^{N}\sin\frac{pq\pi}{N+1}\sin\frac{pq'\pi}{N+1}=\delta _{qq'} $$

$x=\frac{q\pi}{N+1}$として
$$ \sum_{p=1}^{N}\cos px=\frac{1}{2}\sum_{p=1}^{N}(e^{ipx}+e^{-ipx})=\frac{1}{2}\left\{\frac{e^{ix}-e^{i(N+1)x}}{1-e^{ix}}+\frac{e^{-ix}-e^{-i(N+1)x}}{1-e^{-ix}} \right\}=\frac{1}{2}\left\{\frac{e^{ix}-e^{iq\pi}}{1-e^{ix}}+\frac{e^{-ix}-e^{-iq\pi}}{1-e^{-ix}}\right\} $$
$q$が奇数なら$e^{iq\pi}=e^{-iq\pi}=-1$ ,偶数なら$e^{iq\pi}=e^{-iq\pi}=1$ だから
$$ \sum_{p=1}^{N}\cos\frac{pq\pi}{N+1}=0 (qが奇数) , -1 (qが偶数) $$
$q=q'のとき$
$$ \frac{2}{N+1}\sum_{p=1}^{N}\sin\frac{pq\pi}{N+1}\sin\frac{pq'\pi}{N+1}=\frac{2}{N+1}\sum_{p=1}^{N}\sin^2\frac{pq\pi}{N+1}=\frac{2}{N+1}\cdot\frac{1}{2}\left[N-\sum_{p=1}^{N}\sin\frac{p(2q)\pi}{N+1}\right]=1 $$
$q\not=q'のとき$
$$ \frac{2}{N+1}\sum_{p=1}^{N}\sin\frac{pq\pi}{N+1}\sin\frac{pq'\pi}{N+1}=\frac{1}{N+1}\sum_{p=1}^{N}\left[\cos\frac{p(q-q')\pi}{N+1}-\cos\frac{p(q+q')\pi}{N+1}\right] $$
$q-q'とq+q'$の偶奇は一致するから上に示した準備によりこの値は$0$である。
(市村宗武著朝倉現代物理学講座p211参照)

$Q_qの係数ベクトルのノルムはこの補題でq=q'のときだから規格化されていることが分かります。$
以上より規準座標は
$$ Q_q=\sum_{p=1}^{N}\sqrt{\frac{2}{N+1}}\sin\frac{pq\pi}{N+1}x_{p}\quad(q=1,\cdots,N) $$
のN個です。$A(p,q)で行列Aの(p,q)成分を表すことにして$
$$ Q= \begin{pmatrix} Q_1\\ \vdots\\ Q_N \end{pmatrix}, X= \begin{pmatrix} x_1\\ \vdots\\ x_N \end{pmatrix}, A(p,q)=\sqrt{\frac{2}{N+1}}\sin\frac{pq\pi}{N+1} $$とおけば
$Q=AX$
$A$について、
$$A(q,p)=\sqrt{\frac{2}{N+1}}\sin\frac{qp\pi}{N+1}=\sqrt{\frac{2}{N+1}}\sin\frac{pq\pi}{N+1}=A(p,q) $$
より$^tA=A$
また、補題$2$によってただちに$A$が直交行列であることが分かるから$^tAA=E$
よって$A^{-1}=AであってX=AQ$
つまり
$$ x_q=\sum_{p=1}^{N}\sqrt{\frac{2}{N+1}}\sin\frac{pq\pi}{N+1}Q_{p}\quad(q=1,\cdots,N) $$
であることも分かります。
規準座標への変換はポテンシャル$U$の交差項を解消することも意味しています。このときに現れるのが表題の行列です。
一般に$2次形式$
$$ \sum_{1\le i\le j\le N}\alpha_{ij}x_ix_j は\beta_{ij}=\alpha_{ij} (i=j), \beta_{ij}=\beta_{ji}=\frac{1}{2}\alpha_{ij} (i\not=j)とおくことで\\ B(i,j)=\beta_{ij}の行列Bを用いて \sum_{1\le i\le j\le N}\alpha_{ij}x_ix_j=(x_1,\cdots,x_N)B\begin{pmatrix} x_1\\ \vdots\\ x_N \end{pmatrix} $$
と表されます。いま、ポテンシャルは
$$ U=\frac{1}{2}k\sum_{p=1}^{N+1}(x_p-x_{p-1})^2=\frac{1}{2}k\left(\sum_{i=1}^N2x_ix_i+\sum_{i-j=\pm1}(-1)x_ix_j\right)=\frac{1}{2}k\cdot ^tXBX $$
ただし$Bを表題の行列としました$
$Bは対称行列だから、ある直交行列Pによって対角化できます。ところで、ABAを計算してみましょう。$
まず、$AB$を計算すれば、$$ \begin{align} AB(p,q)&=\sqrt{\frac{2}{N+1}}\left(-\sin\frac{p(q-1)\pi}{N+1}+2\sin\frac{pq\pi}{N+1}-\sin\frac{p(q+1)\pi}{N+1}\right)\\ &=\sqrt{\frac{2}{N+1}}4\sin^2\frac{p\pi}{2(N+1)}\sin\frac{pq\pi}{N+1} \end{align} $$
がわかります。つまり
$$ \begin{align} ABA(p,r)&=\sum_{q=1}^{N}\sqrt{\frac{2}{N+1}}4\sin^2\frac{p\pi}{2(N+1)}\sin\frac{pq\pi}{N+1}\sqrt{\frac{2}{N+1}}\sin\frac{qr\pi}{N+1}\\ &=4\sin^2\frac{p\pi}{2(N+1)}\frac{2}{N+1}\sum_{q=1}^{N}\sin\frac{pq\pi}{N+1}\sin\frac{qr\pi}{N+1}=4\sin^2\frac{p\pi}{2(N+1)}\delta_{pr} \end{align} $$
$となって対角化されていることが分かります。前に述べたようにAは直交行列であって、A^{-1}=AなのでP=Aがわかります。$
このことから表題の行列の固有値は$$\lambda_p=4\sin^2\frac{p\pi}{2(N+1)}\quad (p=1,\cdots,N) であることがわかります。$$
$Q=AX=PXなので2次形式の理論から$
$$ U=\frac{1}{2}k\sum_{p=1}^{N}\lambda_pQ_p^2 $$
$さらに、Aは直交行列なので内積を保存するので、系の全エネルギーは$
$$ H=\frac{1}{2}\sum_{p=1}^N\left\{m\left(\frac{dQ_p}{dt}\right)^2+k\lambda_pQ_p^2 \right\} $$
となることがわかります。

大学の授業で規準座標が出てきたのでその性質を色々と調べて記事にまとめました。間違ってたら教えてください。

投稿日:20201222

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