正二面体群D3とD4の共役類

この記事では正二面体群$D_3,D_4$の共役類を計算します。

$G$の$2$要素が共役であるという関係は同値関係を定める。したがって、この同値類により$G$を分割することができる。この同値類のことを共役類と呼ぶ。

群$G$の共役類を計算する上で便利な事実を確認しよう。

$x,y\in G$に対し$(xy{)}^{-1}=y^{-1}{x}^{-1}$なので、

つまり$g$の$xy$による共役は$g$の$x$による共役の$y$による共役に一致する。

$D_3$

正二面体群$D_3$は$e$を単位元として、生成元$a,b$と関係式$a^3=b^2=e,ab=b{a}^2$によって定まる群で
$$\begin{array}{r}{D}_3=\{e,a,a^2,b,ba,b{a}^2\}\end{array}$$と要素を表示できる。

この関係式から、 $$\begin{array}{rcl}{a}^{2}b& =& a(ab)\\ & =& ab{a}^2\\ & =& b{a}^2{a}^2\\ & =& ba\end{array}$$と計算できる。

$e$の共役類

まず$e$の共役類を計算する。$e$は任意の要素$g\in D_3$に対して$ge=g=eg$となるので、$e$と共役な要素は$e$自身のみで、

$a$の共役類

次に、$a$の共役類を計算する。$a^i$と$a$は$a^{i}a=a^{i+1}=a{a}^i$となり可換なので、$a^i$による共役は$a$自身である。$b$による共役を計算すると $$\begin{array}{rcl}ba{b}^{-1}& =& bab\\ & =& bb{a}^2\\ & =& a^2\end{array}$$となる。$b{a}^i$による共役は$a$の$b$による共役$a^2$の$a^i$による共役で、$a^2{a}^i=a^{i+2}=a^i{a}^2$となるからこれは$a^2$である。共役は同値関係なので、

$b$の共役類

次に$b$の共役類を計算する。 $a$による共役は $$\begin{array}{rcl}ab{a}^{-1}& =& ab{a}^2\\ & =& b{a}^2{a}^2\\ & =& ba\end{array}$$となる。 $a^2$による共役は $$\begin{array}{rcl}{a}^{2}b(a^2{)}^{-1}& =& a^{2}ba\\ & =& baa\\ & =& b{a}^2\end{array}$$となる。ここまでのところで、共役が同値関係であることから$\{b,ba,b{a}^2\}$となることはわかるが、ついでに$b{a}^i$による共役を計算しておこう。これを$a^{j}b$の形に書き換えた上で、$b$の$b$による共役が$b$自身であることから
$$\begin{array}{rcl}(a^{j}b)b(a^{j}b{)}^{-1}& =& a^j(bb{b}^{-1})(a^j{)}^{-1}\\ & =& a^{j}b(a^j{)}^{-1}\end{array}$$となる。これは上の計算で$ba,b{a}^2$のいずれかとなる。

$D_4$

次に$D_4$の共役類を計算する。

正二面体群$D_4$は$e$を単位元として、生成元$a,b$と関係式$a^4=b^2=e,ab=b{a}^3$によって定まる群で
$$\begin{array}{r}{D}_4=\{e,a,a^2,a^3,b,ba,b{a}^2,b{a}^3\}\end{array}$$と要素を表示できる。

この関係式から、 $$\begin{array}{rcl}{a}^{2}b& =& a(ab)\\ & =& ab{a}^3\\ & =& b{a}^3{a}^3\\ & =& b{a}^2\\ a^{3}b& =& a(a^{2}b)\\ & =& ab{a}^2\\ & =& b{a}^3{a}^2\\ & =& ba\end{array}$$と計算できる。

$e$の共役類

まず$e$の共役類を計算する。$e$は任意の要素$g\in D_4$に対して$ge=g=eg$となるので、$e$と共役な要素は$e$自身のみで、

$a$の共役類

次に、$a$の共役類を計算する。$a^i$と$a$は$a^{i}a=a^{i+1}=a{a}^i$となり可換なので、$a^i$による共役は$a$自身である。$b$による共役を計算すると $$\begin{array}{rcl}ba{b}^{-1}& =& bab\\ & =& bb{a}^3\\ & =& a^3\end{array}$$となる。$b{a}^i$による共役は$a$の$b$による共役$a^3$の$a^i$による共役で、$a^3{a}^i=a^{3+i}=a^i{a}^3$となるからこれは$a^3$である。共役は同値関係なので、

$a^2$の共役類

$a^2$の共役類を計算する。$a^i$と$a^2$は$a^i{a}^2=a^{i+2}=a^2{a}^i$となり可換なので、$a^i$による共役は$a^2$自身である。$b$による共役を計算すると $$\begin{array}{rcl}b{a}^2{b}^{-1}& =& b{a}^{2}b\\ & =& bb{a}^2\\ & =& a^2\end{array}$$となる。$b{a}^i$による共役は$a$の$b$による共役$a^2$の$a^i$による共役で、これは$a^2$である。よって、

$b$の共役類

次に$b$の共役類を計算する。 $a$による共役は $$\begin{array}{rcl}ab{a}^{-1}& =& ab{a}^3\\ & =& b{a}^3{a}^3\\ & =& b{a}^2\end{array}$$となる。 $a^2$による共役は $$\begin{array}{rcl}{a}^{2}b(a^2{)}^{-1}& =& a^{2}b{a}^2\\ & =& b{a}^2{a}^2\\ & =& b\end{array}$$となる。$a^3=a{a}^2$による共役は$a^2$による共役$b$の$a$による共役だから$b{a}^2$である。$b$による共役は$b$自身である。$b{a}^i$による共役は$b$による共役$b$の$a^i$による共役だから$b$または$b{a}^2$である。よって

$ba$の共役類

$ba$の共役類を計算する。 $a$による共役は $$\begin{array}{rcl}aba{a}^{-1}& =& ab\\ & =& b{a}^3\end{array}$$となる。 $a^2$による共役は $$\begin{array}{rcl}{a}^{2}ba(a^2{)}^{-1}& =& a^{2}ba{a}^2\\ & =& b{a}^2{a}^3\\ & =& ba\end{array}$$となる。$a^3=a{a}^2$による共役は$a^2$による共役$ba$の$a$による共役だから$b{a}^3$である。$b$による共役は $$\begin{array}{rcl}bba{b}^{-1}& =& ab\\ & =& b{a}^3\end{array}$$である。$b{a}^i$による共役は$b$による共役$b{a}^3$の$a^i$による共役だが、これは上で計算したことを利用しよう。$ba$の$a$による共役が$b{a}^3$であり、$ba$の$a^2$による共役が$ba$であった。したがって、$ba$の$a$による共役$b{a}^3$の$a$による共役が$ba$ということになる。つまり$b{a}^3$の$a$による共役が$ba$であるが、これを繰り返すことにより$a^i$による共役は$ba$または$b{a}^3$であることがわかる。よって

まとめ

まとめると

であることがわかった。