整数の和分解に関する問題

$(a_i)$の一般項を記述せよ.

正整数$m,n$に対して, 上記の条件 2. の唯一の方法で選ばれる番号の全体をそれぞれ$I,J$と置く. 即ち,
$$\begin{array}{r}m=\sum _{i\in I}{a}_i,n=\sum _{j\in J}{a}_j\end{array}$$が成立するよう, 正整数の全体${\mathbb{Z}}_{>0}$の部分集合$I,J$であって, 各々の内では何れの要素も隣りあわないようなものを取る. ここに
$$\begin{array}{r}m\circ n=\sum _{i\in I}\sum _{j\in J}{a}_{i+j}\end{array}$$なる${\mathbb{Z}}_{>0}$上の二項演算$\circ$を定義するとき, 任意の正整数$a,b,c$について, 結合律
$$\begin{array}{r}(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)\end{array}$$が成立することを証明せよ.