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整数の和分解に関する問題

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前提知識 : 特に無し.
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問題

ある正整数から成る数列$(a_i)_{i>0}$が, 以下の二つの条件の両方を充たしていると言う.

  1. $(a_i)$は狭義の単調増加列である. 詰まり, 任意の$i$に対して$a_{i+1}>a_i$が成りたつ.
  2. 任意の正整数$n$に対して, $(a_i)$の中から隣りあわないような幾つかの項を選び, それらを足して$n$に等しくする方法は唯一通りである.

$(a_i)$の一般項を記述せよ.

正整数$m,n$に対して, 上記の条件 2. の唯一の方法で選ばれる番号の全体をそれぞれ$I,J$と置く. 即ち,
$$ \begin{align} m=\sum_{i\in I}a_i,\quad n=\sum_{j\in J}a_j \end{align} $$が成立するよう, 正整数の全体$\mathbb{Z}_{>0}$の部分集合$I,J$であって, 各々の内では何れの要素も隣りあわないようなものを取る. ここに
$$ \begin{align} m\circ n=\sum_{i\in I}\sum_{j\in J}a_{i+j} \end{align} $$なる$\mathbb{Z}_{>0}$上の二項演算$\circ$を定義するとき, 任意の正整数$a,b,c$について, 結合律
$$ \begin{align} (a\circ b)\circ c=a\circ(b\circ c) \end{align} $$が成立することを証明せよ.

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解答

(いつか解答を書く心算で居ますが, いつに成るかは判りません...)
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投稿日:20201223

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ゆう
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好きな整数は 0, 1, 1, φ, 2, 5, 6, 12, 89 など. || フィボナッチ数列 bot (@Aureus_N) 管理人. || hatena blog || indeterminate equations involving Fibonacci numbers || Disquisitiones Arithmeticae...

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