整数の和分解に関する問題
前提知識 : 特に無し.
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問題
ある正整数から成る数列$(a_i)_{i>0}$が, 以下の二つの条件の両方を充たしていると言う.
- $(a_i)$は狭義の単調増加列である. 詰まり, 任意の$i$に対して$a_{i+1}>a_i$が成りたつ.
- 任意の正整数$n$に対して, $(a_i)$の中から隣りあわないような幾つかの項を選び, それらを足して$n$に等しくする方法は唯一通りである.
$(a_i)$の一般項を記述せよ.
正整数$m,n$に対して, 上記の条件 2. の唯一の方法で選ばれる番号の全体をそれぞれ$I,J$と置く. 即ち,
$$
\begin{align}
m=\sum_{i\in I}a_i,\quad n=\sum_{j\in J}a_j
\end{align}
$$が成立するよう, 正整数の全体$\mathbb{Z}_{>0}$の部分集合$I,J$であって, 各々の内では何れの要素も隣りあわないようなものを取る. ここに
$$
\begin{align}
m\circ n=\sum_{i\in I}\sum_{j\in J}a_{i+j}
\end{align}
$$なる$\mathbb{Z}_{>0}$上の二項演算$\circ$を定義するとき, 任意の正整数$a,b,c$について, 結合律
$$
\begin{align}
(a\circ b)\circ c=a\circ(b\circ c)
\end{align}
$$が成立することを証明せよ.
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解答
(いつか解答を書く心算で居ますが, いつに成るかは判りません...)
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