減少関数の可積分性

まずは$f(b)$が集合$f(I)$において集積点である場合について示す。$ϵ>0$を任意とし固定する。自然数全体の集合は上に有界でないため、$n>\frac{f(a)-f(b)}{ϵ}(b-a)$なる自然数$n$が存在する。$n_{ϵ}$をこのような自然数で最小のものとし、$k=1,2,...,n_{ϵ}$に対して
$I_k=\{x\in [a,b];f(a)-\frac{kϵ}{b-a}\le f(x)\le f(a)-\frac{(k-1)ϵ}{b-a}\}$
により定めると、$n_{ϵ}$の定め方より$f(b)>f(a)-\frac{n_{ϵ}ϵ}{b-a}$であり、$f$は減少関数なので
${\displaystyle \bigcup _{k=1}^{n_{ϵ}}{I}_k=\{x\in [a,b];f(b)\le f(x)\le f(a)\}}$
が成立する。ここで$I_1,I_2,...,I_{n_{ϵ}}$のうち、空でも、一点集合でもないもの全てを$I_{i_1},I_{i_2},...,I_{i_n}$とする。特に、$f(b)$は$f(I)$において集積点であるから、$ϵ$の値に寄らず$I_{i_n}=I_{n_{ϵ}}$が成立する。$I_{i_k}$の定義より、任意の$k=1,2,...,n-1$に対して
$\mathrm{\forall }x\in I_{i_k},\mathrm{\forall }y\in I_{i_{k+1}},f(x)\ge f(y)$
が成立する。したがって$f$の減少性より$sup{I}_{i_k}\le inf{I}_{i_{k+1}}$である。また、$I_{i_1},I_{i_2},...,I_{i_n}$に含まれないような$I_j$は空集合か1点集合であるかのいずれかであり、$I_1,I_2,...,I_{n_{ϵ}}$は$[a,b]$を被覆するため$sup{I}_{i_k}=inf{I}_{I_{k+1}}$が成立する。
数列$\{a_m{\}}_{m=1}^n$を$a_m=inf{I}_{i_m}$によって定める。$I_{i_m}$は一点集合ではないため、任意の$m=1,2,...,n$に対して$inf{I}_{i_m}<sup{I}_{i_m}$が成立する。
したがって全ての$m=1,2,...,n-1$に対して$a_m=inf{I}_{i_m}<sup{I}_{i_m}=inf{I}_{i_{m+1}}=a_{m+1}$、つまり、$a_1<a_2<...<a_n$が成り立つ。また、$I_{i_1}=I_1$であり$I_1$の定義より$a\in I_1$が成立するため$a_1=a$であり、$I_1,I_2,...,I_{n_{ϵ}}$の定め方より明らかに$a_n<b$が成立する。したがって$a_{n+1}=b$とすれば、数列$\mathrm{\Delta }=\{a_m{\}}_{m=1}^{n+1}$は$[a,b]$の分割である。また、$I_1,I_{"},...,I_{n_{ϵ}}$の定め方より、任意の$m=1,2,...,n$に対して
${\displaystyle \underset{a_m\le x\le a_{m+1}}{sup}f(x)-\underset{a_m\le x\le a_{m+1}}{inf}f(x)\le \frac{ϵ}{b-a}}$
が成立する。以上よりこの分割に対して、
$$\begin{array}{rl}S(f,\mathrm{\Delta })-s(f,\mathrm{\Delta })& ={\displaystyle \sum _{m=1}^n(\underset{a_m\le x\le a_{m+1}}{sup}f(x)-\underset{a_m\le x\le a_{m+1}}{inf}f(x))(a_{m+1}-a_m)}\\ & \le \sum _{m=1}^n\frac{ϵ(a_{m+1}-a_m)}{b-a}=ϵ\end{array}$$
が成立する。よってDarbouxの定理より$f(b)$が$f(I)$において集積点である場合において$f$がリーマン可積分であることが示された。次に$f(b)$が$f(I)$において集積点ではないとき、明らかに$f(a)\ne f(b)$であり、特に$f(a)-f(b)>0$が成立する。ここで閉区間$[b-\frac{ϵ}{2(f(a)-f(b))},f(b)]$の元$x_0$であって、$f(x_0)$は$f([a,x_0])$において集積点であるようなものが存在する。そのような$x_0$について$f$は$[a,x_0]$においてリーマン可積分であり、Darbouxの定理より$[a,x_0]$の分割$\mathrm{\Delta }=\{a_m{\}}_{m=1}^n$であって
$S(f{|}_{[a,x_0]},\mathrm{\Delta })-s(f{|}_{[a,x_0]},\mathrm{\Delta })\le \frac{ϵ}{2}$
なるものが存在する。この分割について、$a_{n+1}=b$とすると数列${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=\{a_m{\}}_{m=1}^{n+1}$は$[a,b]$の分割であり、
$$\begin{array}{rl}S(f,{\mathrm{\Delta }}^{\prime })-s(f,{\mathrm{\Delta }}^{\prime })& =\sum _{m=1}^{n+1}\underset{a_m\le x\le a_{m+1}}{sup}f(x)-\underset{a_m\le x\le a_{m+1}}{inf}f(x)(a_{m+1}-a_m)\\ & \le ϵ+(\underset{x_0\le x\le b}{sup}f(x)-\underset{x_0\le x\le b}{inf}f(x))(b-x_0)\\ & \le ϵ+(f(x_0)-f(b))\frac{ϵ}{2(f(a)-f(b))}\\ & \le ϵ\end{array}$$

したがってDarbouxの定理より$f$がリーマン可積分であることが示された。