減少関数の可積分性

まずは$f(b)$が集合$f(I)$において集積点である場合について示す。$\epsilon>0$を任意とし固定する。自然数全体の集合は上に有界でないため、$n>\frac{f(a)-f(b)}{\epsilon}(b-a)$なる自然数$n$が存在する。$n_{\epsilon}$をこのような自然数で最小のものとし、$k=1,2,...,n_{\epsilon}$に対して
$I_k=\{x\in [a,b]; f(a)-\frac{k\epsilon}{b-a}\leq f(x)\leq f(a)-\frac{(k-1)\epsilon}{b-a}\}$
により定めると、$n_{\epsilon}$の定め方より$f(b)>f(a)-\frac{n_{\epsilon}\epsilon}{b-a}$であり、$f$は減少関数なので
$\displaystyle \bigcup_{k=1}^{n_{\epsilon}} I_k=\{x\in [a,b] ; f(b)\leq f(x)\leq f(a)\}$
が成立する。ここで$I_1,I_2,...,I_{n_{\epsilon}}$のうち、空でも、一点集合でもないもの全てを$I_{i_1},I_{i_2},...,I_{i_n}$とする。特に、$f(b)$は$f(I)$において集積点であるから、$\epsilon$の値に寄らず$I_{i_n}=I_{n_{\epsilon}}$が成立する。$I_{i_k}$の定義より、任意の$k=1,2,...,n-1$に対して
$\forall x\in I_{i_k},\forall y\in I_{i_{k+1}}, f(x)\geq f(y)$
が成立する。したがって$f$の減少性より$\sup I_{i_k}\leq \inf I_{i_{k+1}}$である。また、$I_{i_1},I_{i_2},...,I_{i_n}$に含まれないような$I_j$は空集合か1点集合であるかのいずれかであり、$I_1,I_2,...,I_{n_{\epsilon}}$は$[a,b]$を被覆するため$\sup I_{i_k}=\inf I_{I_{k+1}}$が成立する。
数列$\{a_m\}_{m=1}^n$を$a_m=\inf I_{i_m}$によって定める。$I_{i_m}$は一点集合ではないため、任意の$m=1,2,...,n$に対して$\inf I_{i_m}<\sup I_{i_m}$が成立する。
したがって全ての$m=1,2,...,n-1$に対して$a_m=\inf I_{i_m}<\sup I_{i_m}=\inf I_{i_{m+1}}=a_{m+1}$、つまり、$a_1< a_2<...< a_n$が成り立つ。また、$I_{i_1}=I_1$であり$I_1$の定義より$a\in I_1$が成立するため$a_1=a$であり、$I_1,I_2,...,I_{n_{\epsilon}}$の定め方より明らかに$a_n< b$が成立する。したがって$a_{n+1}=b$とすれば、数列$\Delta =\{a_m\}_{m=1}^{n+1}$は$[a,b]$の分割である。また、$I_1,I_",...,I_{n_{\epsilon}}$の定め方より、任意の$m=1,2,...,n$に対して
$\displaystyle \sup_{a_m\leq x\leq a_{m+1}}f(x)-\inf_{a_m\leq x\leq a_{m+1}}f(x)\leq \frac{\epsilon}{b-a}$
が成立する。以上よりこの分割に対して、
\begin{equation} \begin{split} S(f,\Delta)-s(f,\Delta)&=\displaystyle \sum_{m=1}^{n}(\sup_{a_m\leq x \leq a_{m+1}}f(x)-\inf_{a_m\leq x\leq a_{m+1}}f(x))(a_{m+1}-a_m)\\ &\leq \sum_{m=1}^{n}\frac{\epsilon(a_{m+1}-a_m)}{b-a}=\epsilon \end{split} \end{equation}
が成立する。よってDarbouxの定理より$f(b)$が$f(I)$において集積点である場合において$f$がリーマン可積分であることが示された。次に$f(b)$が$f(I)$において集積点ではないとき、明らかに$f(a)\neq f(b)$であり、特に$f(a)-f(b)>0$が成立する。ここで閉区間$[b-\frac{\epsilon}{2(f(a)-f(b))},f(b)]$の元$x_0$であって、$f(x_0)$は$f([a,x_0])$において集積点であるようなものが存在する。そのような$x_0$について$f$は$[a,x_0]$においてリーマン可積分であり、Darbouxの定理より$[a,x_0]$の分割$\Delta =\{a_m\}_{m=1}^n$であって
$S(f|_{[a,x_0]},\Delta)-s(f|_{[a,x_0]},\Delta)\leq \frac{\epsilon}{2}$
なるものが存在する。この分割について、$a_{n+1}=b$とすると数列$\Delta' =\{a_m\}_{m=1}^{n+1}$は$[a,b]$の分割であり、
\begin{equation} \begin{split} S(f,\Delta')-s(f,\Delta')&=\sum_{m=1}^{n+1} \sup_{a_m\leq x\leq a_{m+1}}f(x)-\inf_{a_m\leq x\leq a_{m+1}}f(x)(a_{m+1}-a_m)\\ &\leq \epsilon + (\sup_{x_0\leq x\leq b}f(x)-\inf_{x_0\leq x\leq b}f(x))(b-x_0)\\ &\leq \epsilon + (f(x_0)-f(b))\frac{\epsilon}{2(f(a)-f(b))}\\ &\leq \epsilon \end{split} \end{equation}

したがってDarbouxの定理より$f$がリーマン可積分であることが示された。