文献あり

Christmas Suslin Tree

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今日はなんとクリスマスイヴらしいですね！ということで私はクリスマスツリーとして $κ^{+}$ -Suslin木を飾りたいと思います(？)。ちょうどサンタさんからプレゼントとして $κ^{+}$ の定常部分集合 $S$ と $♢_{κ^{+}} (S)$ -列と $◻_{κ} (S)$ -列を貰ってます(？？？)。これらを材料に $κ^{+}$ -Suslin木を作っていきましょう！

ねえねえ、木ってなあに？

木

木 (tree) とは半順序集合 $⟨ T, <_{T} ⟩$ で任意の $s \in T$ に対し ${t \in T ∣ t <_{T} s}$ が $<_{T}$ で整列順序付けられることを言う。

今 $T$ を木とし、 $s \in T$ とする。ここで ${t \in T ∣ t <_{T} s}$ の順序型を $s$ の水準 (level)といい、 $lv (s)$ と表す。また $sup {lv (s) + 1 ∣ s \in T}$ を $T$ の高さ (height)といい $h (T)$ と表す。

木 $T$ の部分集合 $X$ が鎖 (chain) であるとは $X$ が $<_{T}$ で全順序付けられることであり、反鎖 (antichain) であるとは任意の $s, t \in X$ に対し $s <_{T} t$ でも $t <_{S} s$ でもないことを言う。

基数 $κ$ に対し木 $T$ が $κ$ -Suslin木 ( $κ$ -Suslin tree) であるとは以下の条件を満たすことである。

$ht (T) = κ$ 。
$lv (s) = 0$ となる元(根)は一意である。
任意の元 $s \in T$ に対して異なる二つの元 $t, u \in T$ が存在し $lv (t) = lv (u) = lv (s) + 1$ となる。
任意の $s \in T, α > lv (s)$ に対し、ある $t >_{T} s$ が存在し $lv (t) = α + 1$ である。
$(\forall α < κ) [card ({s \in T ∣ lv (s) = α}) < κ]$ 。
$T$ の任意の反鎖の濃度は $κ$ 未満である。

サンタさんからのプレゼントだよ？

定義語句（任意）

$On$ は順序数全体のクラス、 $Lim$ は極限順序数全体のクラスとする。
順序数 $α$ に対し $C \subseteq α$ が閉非有界 (closed and unbounded, club)であるとは順序位相の意味で閉集合であり、順序非有界となることである。また $S \subseteq α$ が定常 (stationary) であるとは、任意の $α$ の閉非有界集合と共通部分を持つことである。

基数 $κ$ とその部分集合 $S$ に対し $♢_{κ} (S)$ -列 ( $♢_{κ} (S)$ -sequence) は以下を満たす集合の列 $⟨ A_{ξ} ∣ ξ \in S ⟩$ である。

$A_{ξ} \subseteq ξ$ 。
任意の集合 $A \subseteq κ$ に対し ${ξ \in S ∣ A \cap ξ = A_{ξ}}$ は $κ$ の定常集合になる。

基数 $κ$ とその部分集合 $S$ に対し $◻_{κ} (S)$ -列 ( $◻_{κ} (S)$ -sequence) は任意の $ξ \in (κ, κ^{+}) \cap Lim$ に対し以下を満たす集合の列 $⟨ C_{ξ} ∣ ξ \in Lim \cap κ^{+} ⟩$ である。

$C_{ξ}$ は $ξ$ の閉非有界集合である。
$C_{ξ}$ の順序型は $κ$ 以下である。
任意の $ζ \in C_{ξ} \cap Lim$ に対し $ζ \notin S$ であり、かつ $C_{ξ} \cap ζ = C_{ζ}$ である。

クリスマスツリー作るよ！！

Jensen

ある $κ^{+}$ の定常集合 $R \subseteq κ^{+} \cap Lim$ に対し $♢_{κ^{+}} (R)$ -列と $◻_{κ} (R)$ -列が存在するとき $κ^{+}$ -Suslin木が存在する。

&&&prf
今 $⟨ S_{ξ} ∣ ξ \in R ⟩$ を $♢_{κ^{+}} (E)$ とし $⟨ C_{ξ} ∣ ξ \in Lim \cap κ^{+} ⟩$ を $◻_{κ} (E)$ -列とする。
木 $T$ の水準による制限 $T ↾ α$ を順序数 $α < κ^{+}$ に対して帰納的に構成する。まず $T ↾ 1 := {0}$ とし、以下では $T ↾ α$ がすでに構成されていて、 $T ↾ α \in On$ であるものとしよう。

$α$ が後続順序数で $β$ を $α = β + 1$ であるようなものとする。 $T ↾ (α + 1) := (T ↾ α) + otyp (T ↾ α ∖ T ↾ β) \times 2$ とする。追加された元は各元 $s \in T ↾ α ∖ T ↾ β$ に対しての異なる二つの後続元となるように順序 $<_{T ↾ (α + 1)}$ 定義する。

$α$ が極限順序数の場合を考える。まず $S = {\begin{cases} {s \in T ↾ α ∣ (\exists t \in S_{α}) [t = s \lor t <_{T ↾ α} s]} & if α \in R and S_{α} is antichain of T ↾ α . \\ T ↾ α & otherwise. \end{cases}$
と定める。 $s \in S$ に対し $T ↾ α$ の鎖 $c_{s}$ を構成しよう。 $s \in T ∣ ε$ となるような最小の順序数 $ε$ と置く。今 $γ := otyp (C_{α} ∖ ε)$ とし、 $⟨ δ_{i} ∣ i < γ ⟩$ を $C_{α} ∖ ε$ の数え上げとする。 $γ$ に対する帰納法で鎖 $c_{s}$ の元 $s_{i}$ を構成する。 $s_{0}$ を $T ↾ (δ_{0} + 1) ∖ T ↾ δ_{0}$ の元で $s$ より $<_{T ↾ α}$ に対して大きいものの中で最小の順序数とする。次に $i > 0$ に対して $s_{i}$ を任意の $j < i$ に対し $s_{j}$ より $<_{T ↾ α}$ に対して大きく $T ↾ (δ_{i} + 1) ∖ T ↾ δ_{i}$ に含まれている元で最小の順序数とする。もしそのような順序数が存在しないならそこで構成を終了する。そして $c_{s} := {s_{i} ∣ i < γ}$ とする。 $T ↾ (α + 1) := (T ↾ α) + card (S) $ と定義する ($ card (S) = κ^{+} $ であることに気をつける) 。また順序 $ <_{T ↾ (α + 1)} $ を任意の $ s \in S $ に対して $ t \in T ↾ (α + 1) ∖ T ↾ α $ が一意に存在して任意の $ s^{'} \in c_{s} $ に対し $ s^{'} <_{T ↾ (α + 1)} t $ となるように定める。つまり各鎖 $ c_{s} $ に対してその最小上界を一つだけ追加したものを $ T ↾ (α + 1) $ とする。 $ T $ を $ ⋃_{α < κ^{+}} T_{α} $ とし $ <_{T} $ も自然に定める。 $ κ^{+} $ - S u s l i n 木の条件の内、 6. 「 $ T $ の任意の反鎖の濃度は $ κ $ 未満である」以外は構成から成り立つこと分かる。そうでない場合、ある極限順序数 $ α < κ^{+} $ で $ T ↾ (α + 1) $ の構成が壊れている場合を考える。今そのようなもので最小となるのを $ α $ としよう。ある $ s \in S, i \in γ \cap Lim $ に対して、 $ t \in T ↾ (δ_{i} + 1) ∖ T ↾ δ_{i} $ かつ任意の $ j < i $ に対し $ s_{j} <_{T} t $ となるような $ t $ が存在しない。しかし $ δ_{i} \in C_{α} $ で $ C_{α} $ は $ ◻_{κ} (R) $ - 列であったから $ δ_{i} \notin R $ であり、 $ C_{δ_{i}} = C_{α} \cap δ_{i} $ である。すると $ T ↾ (δ_{i} + 1) $ を構成するときの $ S $ はすなわち $ T ↾ δ_{i} $ であり、 $ T ↾ (δ_{i} + 1) $ の構成に矛盾する。今 $ κ^{+} $ の大きさを持つ $ T $ の反鎖 $ A $ が存在するとしよう。今、 $ R $ の定常性と $ ♢_{κ^{+}} (R) $ - 列の定義から極限順序数 $ α \in R $ で $ A \cap α = S_{α} $ で $ S_{α} $ が $ T ↾ α $ の最大の反鎖となるものが存在する。よって$ S=\{s\in T\restriction\alpha\mid (\exists t\in S_\alpha)[t=s\lor t<_T s]\}$$であり、 $T$ の定義から任意の $T ∖ T ↾ α$ の元 $u$ はある $v \in S_{α}$ に対し $v <_{T} u$ となる。よって $A$ が反鎖である、すなわち任意の異なる元は比較不能であることから $A = A \cap α = S_{α}$ である。しかし $α < κ^{+}$ であり $A \cap α$ の濃度は $κ^{+}$ 未満であることから矛盾する。 $◻$ &&& ## やったね。 $κ^{+}$ -Suslin木が存在するよ！ノリと勢いで書いたので誤っている点があったら教えて下さい。ではMerry Christmas!