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級数解説10

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級数botで投下された級数です。

https://twitter.com/infseriesbot/status/1342327861105987584?s=21

exp(ζ(2)2ζ(2)3+ζ(4)4ζ(4)5+)=2πe

[解説]

まず、n=1ζ(2n)x2n1を考えます。

n=1ζ(2n)x2n1=1xn=1x2nk=11k2n=1xk=1n=1(x2k2)n=1xk=1x2k21x2k2=12k=12xx2k2=12(πcotπx1x)

両辺を1回積分し、

n=1ζ(2n)x2n2n=12(πcotπx1x)dx=12(logxlogsinπx)+C1

x0の極限を取ると、

limx012(logxlogsinπx)+C1=limx012(logxsinπx)+C1=12logπ+C1=0

より、C1=12logπであるから、

n=1ζ(2n)x2n2n=12(logπxlogsinπx)

両辺を[0,1]で積分して、

n=1ζ(2n)2n(2n+1)=1201(logπxlogsinπx)dx=1201(log2πxlog2sinπx)dx=12[xlog2πxx]01=12log2πe

であるから、

exp(n=1ζ(2n)2n(2n+1))=exp(12log2πe)

exp(n=1ζ(2n)2n(2n+1))=exp(n=1ζ(2n)(12n12n+1))=exp(ζ(2)2ζ(2)3+ζ(4)4ζ(4)5+)

exp(12log2πe)=elog2πe=2πe

以上より、

exp(ζ(2)2ζ(2)3+ζ(4)4ζ(4)5+)=2πe

が証明されました。

投稿日:20201226
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神鳥奈紗
神鳥奈紗
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遭難者です.高専1年です.MZV,級数,積分をメインにやっています.

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