級数botで投下された級数です。
https://twitter.com/infseriesbot/status/1342327861105987584?s=21
exp(ζ(2)2−ζ(2)3+ζ(4)4−ζ(4)5+…)=2πe
[解説]
まず、∑n=1∞ζ(2n)x2n−1を考えます。
∑n=1∞ζ(2n)x2n−1=1x∑n=1∞x2n∑k=1∞1k2n=1x∑k=1∞∑n=1∞(x2k2)n=1x∑k=1∞x2k21−x2k2=−12∑k=1∞2xx2−k2=−12(πcotπx−1x)
両辺を1回積分し、
∑n=1∞ζ(2n)x2n2n=−12∫(πcotπx−1x)dx=12(logx−logsinπx)+C1
x→0の極限を取ると、
limx→012(logx−logsinπx)+C1=limx→012(logxsinπx)+C1=−12logπ+C1=0
より、C1=12logπであるから、
∑n=1∞ζ(2n)x2n2n=12(logπx−logsinπx)
両辺を[0,1]で積分して、
∑n=1∞ζ(2n)2n(2n+1)=12∫01(logπx−logsinπx)dx=12∫01(log2πx−log2sinπx)dx=12[xlog2πx−x]01=12log2πe
であるから、
exp(∑n=1∞ζ(2n)2n(2n+1))=exp(12log2πe)
exp(∑n=1∞ζ(2n)2n(2n+1))=exp(∑n=1∞ζ(2n)(12n−12n+1))=exp(ζ(2)2−ζ(2)3+ζ(4)4−ζ(4)5+…)
exp(12log2πe)=elog2πe=2πe
以上より、
が証明されました。
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