級数解説10
級数botで投下された級数です。
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$$ \displaystyle \exp\l\frac{\z(2)}2-\frac{\z(2)}3+\frac{\z(4)}4-\frac{\z(4)}5+\ldots \r=\sqrt{\frac{2\pi}e} $$
[解説]
まず、$\d\sum_{n=1}^\infty\z(2n)x^{2n-1} $を考えます。
$ \begin{eqnarray*} &&\sum_{n=1}^\infty\z(2n)x^{2n-1}\\ &=&\frac1x\sum_{n=1}^\infty x^{2n}\sum_{k=1}^\infty\frac1{k^{2n}}\\ &=&\frac1x\sum_{k=1}^\infty\sum_{n=1}^\infty\l\frac{x^2}{k^2} \r^n\\ &=&\frac1x\sum_{k=1}^\infty\frac{\frac{x^2}{k^2}}{1-\frac{x^2}{k^2}}\\ &=&-\frac12\sum_{k=1}^\infty\frac{2x}{x^2-k^2}\\ &=&-\frac12\l\pi\cot\pi x-\frac1x \r \end{eqnarray*} $
両辺を1回積分し、
$ \begin{eqnarray*} &&\sum_{n=1}^\infty\frac{\z(2n)x^{2n}}{2n}\\ &=&-\frac12\int\l\pi\cot\pi x-\frac1x \r dx\\ &=&\frac12\l\log x-\log\sin\pi x \r+C_1\\ \end{eqnarray*} $
$x\rightarrow0$の極限を取ると、
$ \begin{eqnarray*} &&\lim_{x\rightarrow0}\frac12\l\log x-\log\sin\pi x \r+C_1\\ &=&\lim_{x\rightarrow0}\frac12\l\log\frac x{\sin\pi x} \r+C_1\\ &=&-\frac12\log\pi+C_1\\ &=&0 \end{eqnarray*} $
より、$\d C_1=\frac12\log\pi $であるから、
$\d\sum_{n=1}^\infty\frac{\z(2n)x^{2n}}{2n}=\frac12\l\log\pi x-\log\sin\pi x\r $
両辺を$\d[0,1]$で積分して、
$ \begin{eqnarray*} &&\sum_{n=1}^\infty\frac{\z(2n)}{2n(2n+1)}\\ &=&\frac12\i1\l\log\pi x-\log\sin\pi x\r dx\\ &=&\frac12\i1\l\log2\pi x-\log2\sin\pi x \r dx\\ &=&\frac12\left[x\log2\pi x-x \right]_0^1\\ &=&\frac12\log\frac{2\pi}e \end{eqnarray*} $
であるから、
$\d\exp\l\sum_{n=1}^\infty\frac{\z(2n)}{2n(2n+1)} \r=\exp\l\frac12\log\frac{2\pi}e\r $
$ \begin{eqnarray*} &&\exp\l\sum_{n=1}^\infty\frac{\z(2n)}{2n(2n+1)} \r\\ &=&\exp\l\sum_{n=1}^\infty\z(2n)\l\frac1{2n}-\frac1{2n+1} \r \r\\ &=&\exp\l\frac{\z(2)}2-\frac{\z(2)}3+\frac{\z(4)}4-\frac{\z(4)}5+\ldots \r\\ \end{eqnarray*} $
$ \begin{eqnarray*} &&\exp\l\frac12\log\frac{2\pi}e\r\\ &=&\sqrt{e^{\log\frac{2\pi}e}}\\ &=&\sqrt{\frac{2\pi}e} \end{eqnarray*} $
以上より、
$\d \exp\l\frac{\z(2)}2-\frac{\z(2)}3+\frac{\z(4)}4-\frac{\z(4)}5+\ldots \r=\sqrt{\frac{2\pi}e}$
が証明されました。