ファウルハーバーの公式

この記事では, ファウルハーバーの公式という, $m$乗和の明示式について, 軽く証明を書こうと思います.

ベルヌーイ数$B_n$を $\ds\frac{x}{e^x-1}=\sum_{n=0}^\infty\frac{B_n}{n!}x^n$ で定めます.

$$\beq \sum_{k=1}^nk^m&=&\sum_{k=1}^n\left(\frac{d}{dx}\right)^me^{kx}\bigg|_{x=0}\\[5pt] &=&\left(\frac{d}{dx}\right)^m\frac{e^{(n+1)x}-e^x}{e^x-1}\bigg|_{x=0}\\[5pt] &=&\left(\frac{d}{dx}\right)^m\space\frac{xe^x}{e^x-1}\cdot\frac{e^{nx}-1}{x}\bigg|_{x=0} \eeq$$

ここで,

$$\beq \left(\frac{d}{dx}\right)^k\frac{xe^x}{e^x-1}\bigg|_{x=0}&=&\left(\frac{d}{dx}\right)^k\frac{-x}{e^{-x}-1}\bigg|_{x=0}\\[5pt] &=&(-1)^kB_k\\[15pt] \left(\frac{d}{dx}\right)^k\frac{e^{nx}-1}{x}\bigg|_{x=0}&=&\left(\frac{d}{dx}\right)^k\sum_{j=1}^\infty\frac{n^j}{j!}x^{j-1}\bigg|_{x=0}\\[5pt] &=&\frac{n^{k+1}}{k+1} \eeq$$

と, 積の微分公式 $\ds\left(\frac{d}{dx}\right)^mf(x)g(x)=\sum_{k=0}^m\binom{m}{k}f^{(k)}(x)g^{(m-k)}(x)$ より,
$$\beq \sum_{k=1}^nk^m&=&\left(\frac{d}{dx}\right)^m\space\frac{xe^x}{e^x-1}\cdot\frac{e^{nx}-1}{x}\bigg|_{x=0}\\[5pt] &=&\sum_{k=0}^m\binom{m}{k}(-1)^{m-k}B_{m-k}\frac{n^{k+1}}{k+1}\\[5pt] &=&\frac1{m+1}\sum_{k=0}^m\binom{m+1}{k+1}(-1)^{m-k}B_{m-k}\,n^{k+1}\\[5pt] &=&\frac1{m+1}\sum_{k=0}^m\binom{m+1}{k}(-1)^{k}B_{k}\,n^{m-k+1} \eeq$$

示すことができました.
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