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複素座標入門4/5 単位円2

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お疲れ様です,natuです.今回は単位円2ということで残された五心である内心と傍心について書こうと思います.しかし,この内心・傍心,あまり使いません.大事になるのは内心・傍心の話をする上での注意点です.話が難しいかもしれないのでだるかったらスルーしても構いません.また.内心・傍心だけではあまりにも内容がないようなのでこれを話す前に図形問題の重要な定理である円周角の定理および接弦定理また,回転因子について書こうと思います.それでは,どうぞ.

円周角の定理・接弦定理

円周角の定理を複素座標でも使いたいですね.ということで円周角の定理の主張を複素座標の言葉で言い換えていきます.
4点A,B,C,Dが同一円周上にあるBAC+CDB=0,πargabac+argdcdb=arg(ab)(cd)(ac)(bd)=0,π
(ab)(cd)(ac)(bd)は実数
これでいいですね!

円周角の定理

4点A,B,C,Dが同一円周上にある(ab)(cd)(ac)(bd)は実数

また,これを用いて複素数zが三角形ABCの外接円周上にあるための条件を考えることができます.

Zが三角形ABCの外接円周上にある(za)(bc)(zb)(ac)は実数

注意の見出し

繰り返しになりますが,この記事で角度というと特に断らない限り符号付き角(有向角)を言います.実際に図を描いてBAC+CDB=0,πを確かめてみてください.

さて,次は接弦定理です.三角形ABCの外接円の点Aにおける接線上に点Pがある場合を考えます.
三角形ABCの外接円の点Aにおける接線上に点Pがある
PAB+BCA=0,πargapab+argcbca=arg(ap)(bc)(ab)(ac)=0,π
(ap)(bc)(ab)(ac)が実数

接弦定理

三角形ABCの外接円の点Aにおける接線上に点Pがある(ap)(bc)(ab)(ac)が実数

これらの定理,特に円周角の定理は証明問題のとどめを刺す要員としてよく使われます.

内心・傍心

さあここからが本題,厄介な内心・傍心を扱います.なぜ厄介かというと,これらの点は”角の二等分線”から作図されるからです.角の二等分線は内角,外角を考えると2通りあります.図ではなく式からアプローチする複素座標では角の二等分線が内角のことなのか外角のことなのか判断しづらいのです.厄介ですね…

内心

実は偏角を考えるといい感じです.できるだけ状況を限定したいのでX(1,0)として
4点X,A,B,Cはこの順に反時計回りに並んでいるとしましょう.さらに偏角の範囲を限定するためにargp=0,0arga,argb,argc<2πとしましょう.
さて,この状況で弧AB,BC,CA(それぞれもう1個の点を含まない方)の中点をそれぞれL,M,Nとするとその偏角はそれぞれ
argl=12(arga+argb),argm=12(argb+argc),argn=12(argc+arga)+π と表せます.
argnだけπがついてきていやですね.どうすれば点L,M,Nと点A,B,Cをうまく3文字で表せるでしょうか.正解は,
argp=12arga,argq=12argb+π,argr=12argcなるω上の点P,Q,Rです.
こうするとA(p2),B(q2),C(r2),L(pq),M(qr),N(rp)と表せます.p,q,rについて対称なのでうれしいですね!さて,これを用いて内心Iの座標を求めましょう.
直線BN:zpq2rz=q2pr 直線CL:zpqr2z=r2pq この2式から
z=qrrppqが得られます.これが内心Iの座標です.
a a

傍心

内心が求められるなら傍心も求められるでしょう,ということで求めていきます.
IAを求めましょう.外角の二等分線は内角の二等分線と直交することを用います.
直線BNに垂直で点Bを通る直線の方程式はz+pq2rz=q2+pr,
直線CLに垂直で点Cを通る直線の方程式はz+pqr2z=r2+pq
2式よりzを求めるとz=qr+rp+pqとなり,これが傍心IAの座標です.
同様にしてIB(qrrp+pq),IC(qr+rppq)も得られます.

"うまくa,b,cを取る"とは

ここまでの議論をまとめます.見やすいようにp,q,ra,b,cに変えておきます.

内心・傍心

ωに内接する三角形ABCの内心をI,A,B,C内の傍心をそれぞれIA,IB,ICとするとき,うまく複素数a,b,cを取ると
A(a2),B(b2),C(c2),I(bccaab),IA(bc+ca+ab),IB(bcca+ab),IC(bc+caab)と表せる.

"うまくa,b,cを取る"というのが重要です.また,いつでもこのようにうまく複素数を取ることはできません.たとえば,ωに内接する四角形ABCDがあるときうまく複素数a,b,c,dを取って,三角形ABC,BCD,CDA,DABの内心の座標をそれぞれbccaab,cddbbc,daaccd,abbddaと表すようなことはできません.
なぜでしょうか?余力があれば考えてみてください.

回転因子

 この節では普段問題を解くときに使っている"回転"について"回転因子"(とnatuが勝手に呼んでいる)なる複素数を導入します.簡単な話ですので息抜きだと思ってください.

"回転因子"

cosθ+isinθを"θの回転因子"と定義し,rθと表す.

当たり前なこととして|rθ|=1,argrθ=θであり,A(a)を原点を中心にθだけ回転させた点の座標はrθaです.また,第2回で話したように,複素数をかけることは"絶対値をかけ,偏角を足す"ことに等しいので次の命題が成り立ちます.

回転因子の性質

nを自然数としたとき
rθ+ϕ=rθrϕ, rθ=1rθ, rnθ=rθn, rθ=rθ

証明は簡単なので練習問題とします.
第3式はnを自然数から整数に拡張することで第2式を内包します.
また,nを適切に自然数→整数→有理数→実数と拡張することもできそうですが,ちょっと怖いのでここではあまり踏み込まないことにします.
また,問題を解くときはθ60,54など2πの有理数倍の角度であることが多いです.そのようなときは次のことを忘れないようにしましょう.

m,n0でない整数としたときθ=2mπnに対して
rθn=1,特にθ2πの整数倍でないときrθn1+rθn2++rθ+1=0

証明は簡単です.
さて,この"回転因子"を使って任意の点を中心に任意の点を回転移動させましょう.
すなわち点A(a)を中心に点B(b)θだけ回転させた点Cの座標を考えたいです.
回転の中心を原点に持ってくるためにすべての点をaだけ平行移動してA(0),B(ba),Cを考えます.このときθの回転因子rθを用いてCの座標を表すとC(rθ(ba))となります.これにaだけの平行移動を施すとCに戻るのでCの座標はC(rθ(ba)+a)(=(1rθ)a+rθb)と表せます.
a a
これでいいですね! ということでまとめます.

回転因子による回転移動

A(a)を中心にB(b)θだけ回転移動した点Bの座標はB((1rθ)a+rθb)と表される.

繰り返しになりますが回転因子を用いて解くことが望ましい問題はめったにありません.
難角問題をゴリ押すのには役に立つかもしれませんね.
余談ですが,"回転因子"という言葉はnatuの思い付きで命名しました.調べると,類似の概念がすでにあるようで,フーリエ変換(??)に用いられているようです.さっぱりわかりません

練習問題

今回紹介した諸定理を使う問題を探すのは大変で,あまり多くの問題を用意することができませんでした.ただ,円周角の定理だけはよく使います.

level1

1@

rθ,rϕをそれぞれ回転因子,nを自然数としたとき次の4式が成り立つことを示せ.
rθ+ϕ=rθrϕ, rθ=1rθ, rnθ=rθn, rθ=rθ

2@@@@

図のように2つの正五角形と1つの正方形が組み合わさっているとき,3点A,B,Cは同一直線にあることを示せ.(natuの問27)
a a

3@@@@

三角形ABCAB=ACBCをみたし,Iをその内心とする.直線BIは辺ACDで交わり,Dを通り直線ACに垂直な直線は直線AIEで交わる.直線ACに関してIと対称な点は三角形BDEの外接円上にあることを示せ.(春合宿2017 4)

level2

1@@@@@

ωに内接するABCの内心をI,A内の傍心をJとする.線分AIを直径とする円とωの交点をP(A),AJを直径とする円とωの交点をQ(A)とするとき,PQ//BCを示せ.(peppers 3/30)

2@@@@@

正9角形A1A2A9があり,対角線A1A4,A3A5の交点をX,対角線A1A4,A2A7の交点をYとする.XA9Y=20を示せ.(LAN1729さんのツイートより)

level3

2@@@@@@

三角形ABCの外接円の点Aを含まない方の弧BC上を点Pが動く.三角形ABP,ACPの内心をそれぞれIB,ICとするとき三角形PIBICの外接円はPによらないある定点を通ることを示せ.(USAJMO 1改題)

次回予告

今回は新しい定理が少ないです.しかし,これで主要な定理は出尽くしました.あとは研鑽あるのみです.ということで次回は実際に問題を解くときのテクニックなどを書きます.問題も難しくなりますよ…
それでは,お疲れさまでした.

投稿日:20201226
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natu
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複素座標入門を終わらせたら何するか悩んでます

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  1. 円周角の定理・接弦定理
  2. 内心・傍心
  3. 回転因子
  4. 練習問題
  5. 次回予告