複素数の直交性

複素数の直交性の公式

複素数$e^{inx}$について、次のような直交性が存在する。
$$\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }{e}^{i(n-m)x}dx={\delta }_{nm}$$
また、この式は次のように示すこともできる。
$$\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }(e^{imx}{)}^{\ast }{e}^{inx}dx={\delta }_{nm}$$
この時、複素数$Z$の複素共役を$Z^{\ast }$とする。

直交性の証明

　今回の場合、最終的な解がクロネッカーのデルタ${\delta }_{nm}$の為、$n=m$とした時と$n\ne m$とした時で分けて証明する。

$n=m$の場合

　与式$\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }{e}^{i(n-m)x}dx$について、$n=m$なので$n-m=0$となる。よって
$$\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }{e}^{0ix}dx=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }dx=1$$
よって$n=m$の時$1$となる。

$n\ne m$の場合

　与式をそのまま計算すると、
$$\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }{e}^{i(n-m)x}dx=\frac{1}{2\pi }\frac{1}{i(n-m)}[e^{i(n-m)x}{]}_{-\pi }^{\pi }=\frac{1}{2\pi }\frac{1}{i(n-m)}(e^{i(n-m)\pi }-e^{-i(n-m)\pi })=0$$
となる。さて、最後の変形について疑問に思う方もいるだろうが、複素数なので
$$e^{\pm in\pi }=\cos n\pi \pm i\sin n\pi$$
と示せる。$n$は自然数が入る為、この解は$(-1{)}^n$となる。よって、$e^{i(n-m)\pi }-e^{-i(n-m)\pi }=(-1{)}^{n-m}-(-1{)}^{n-m}=0$となる。
よって、$n\ne m$の時解は$0$となる。

結果

以上より、式$\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }{e}^{i(n-m)x}dx$の解は$n=m$の時$1$、$n\ne m$の時$0$となる為、${\delta }_{nm}$となることが分かる。