【解決済み】上極限、下極限の不等式についての質問

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以前も同じような内容で質問した者です。繰り返し失礼します…

突然ですが本題です。

$α_{n}, β_{n}$ は実数列とすると、
$\underset{n \to \infty}{\lim_{―}} α_{n} + \underset{n \to \infty}{\lim_{―}} β_{n} \leq \underset{n \to \infty}{\lim_{―}} (α_{n} + β_{n}) \leq \underset{n \to \infty}{\lim_{―}} α_{n} + \underset{n \to \infty}{\lim^{―}} β_{n}$
が成り立つ。

$\underset{n \to \infty}{\lim_{―}} α_{n} + \underset{n \to \infty}{\lim_{―}} β_{n} \leq \underset{n \to \infty}{\lim_{―}} (α_{n} + β_{n}) \dots (*)$
は証明できたのですが、
$\underset{n \to \infty}{\lim_{―}} (α_{n} + β_{n}) \leq \underset{n \to \infty}{\lim_{―}} α_{n} + \underset{n \to \infty}{\lim^{―}} β$
が上手い事証明できません。
具体的には、 $\underset{n \to \infty}{\lim_{―}} (α_{n} + β_{n})$
が最右辺、最左辺の間にあることが言えないのです。どのように示せばよいのでしょうか？

一応、以下 $(*)$ の自分なりの証明を記しておきます。

まず、
$inf_{k \geq n} (α_{k} + β_{k}) \geq inf_{k \geq n} α_{k} + inf_{k \geq n} β_{k}$
が成り立つことを前提とすると、
$\begin{array}{rcl} \underset{n \to \infty}{\lim_{―}} (α_{n} + β_{n}) & = & sup_{n \in N} (inf_{k \geq n} (α_{k} + β_{k})) \\ \geq & sup_{n \in N} (inf_{k \geq n} α_{k} + inf_{k \geq n} β_{k})) \\ = & sup_{n \in N} (inf_{k \geq n} α_{k}) + sup_{n \in N} (inf_{k \geq n} β_{k}) \\ = & \underset{n \to \infty}{\lim_{―}} α_{n} + \underset{n \to \infty}{\lim_{―}} β_{n} \end{array}$
よって、最左辺と最右辺を比べて、
$∴ \underset{n \to \infty}{\lim_{―}} α_{n} + \underset{n \to \infty}{\lim_{―}} β_{n} \leq \underset{n \to \infty}{\lim_{―}} (α_{n} + β_{n})$

この証明と全く関係なくてもよいので、どなたかご解答よろしくお願いします。

投稿日：2020年12月28日

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ぜっとばー

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アールフォルス博士の『複素解析』をのんびり進めています。難しいことがあったらここで質問させていただきます。ご容赦ください。

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