【解決済み】上極限、下極限の不等式についての質問
以前も同じような内容で質問した者です。繰り返し失礼します…
突然ですが本題です。
$\alpha_n,\beta_n$は実数列とすると、
$$
\varliminf_{n \to \infty} \alpha_n + \varliminf_{n \to \infty} \beta _n \leq \varliminf_{n\to\infty} (\alpha_n+ \beta_n) \leq
\varliminf_{n\to\infty} \alpha_n+ \varlimsup_{n\to\infty}\beta_n
$$
が成り立つ。
$$
\varliminf_{n \to \infty} \alpha_n + \varliminf_{n \to \infty} \beta _n \leq \varliminf_{n\to\infty} (\alpha_n+ \beta_n)…(*)
$$
は証明できたのですが、
$$
\varliminf_{n\to\infty} (\alpha_n+ \beta_n) \leq \varliminf_{n\to\infty} \alpha_n+ \varlimsup_{n\to\infty}\beta
$$
が上手い事証明できません。
具体的には、$$\varliminf_{n\to\infty} (\alpha_n+ \beta_n)$$
が最右辺、最左辺の間にあることが言えないのです。どのように示せばよいのでしょうか？
一応、以下$(*)$の自分なりの証明を記しておきます。
まず、
$$
\inf_{k \geq n}(\alpha_k + \beta_k)\geq \inf_{k \geq n}\alpha_k + \inf_{k \geq n}\beta_k
$$
が成り立つことを前提とすると、
$$
\begin{eqnarray}
\varliminf_{n\to\infty} ( \alpha_n+ \beta_n)
&=&\sup_{n\in \mathbb{N}}(\inf_{k \geq n}(\alpha_k+\beta_k))\\
&\geq& \sup_{n\in \mathbb{N}}(\inf_{k \geq n}\alpha_k+\inf_{k \geq n}\beta_k))\\
&=&\sup_{n\in \mathbb{N}}(\inf_{k \geq n}\alpha_k)+\sup_{n\in \mathbb{N}}(\inf_{k \geq n}\beta_k)\\
&=&\varliminf_{n\to\infty} \alpha_n+\varliminf_{n\to\infty} \beta_n
\end{eqnarray}
$$
よって、最左辺と最右辺を比べて、
$$
\therefore\varliminf_{n \to \infty} \alpha_n + \varliminf_{n \to \infty} \beta _n \leq \varliminf_{n\to\infty} (\alpha_n+ \beta_n)
$$
この証明と全く関係なくてもよいので、どなたかご解答よろしくお願いします。
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