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Fibonacci数列の面白いオーダー

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$$\newcommand{abs}[1]{\left\lvert#1\right\rvert} \newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{ceil}[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} \newcommand{floor}[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{pas}[1]{\left(#1\right)} \newcommand{Pas}[1]{\left\{#1\right\}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

Fibonacci数で遊んでいたら, 次のようなオーダーが得られました.
新しい関数を導入し, そのオーダーを調べていたときの副産物として導出できたので, 証明はかなり長いです. もし簡単に証明できそうだと感じたらぜひ教えてください!

$\Pas{F_n}_{n=1}^\infty$をFibonacci数列とする. $1$より大きい実数$x$に対して, $F_n\leq x< F_{n+1}$を満たす自然数$n$はただひとつ存在する. そこで, この$n$$I(x)$と書くことにする. また$I(1)=2$と定める.

\begin{align} \sum_{k=1}^{I(x)}\frac{F_k}{k}=\frac{F_{I(x)+2}}{I(x)+1}+\log_\varphi x+O(1) \end{align}
但し, $\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$である.

少し補足しておくと, 定義から$F_{I(x)}=O(x), I(x)=O(\log_\varphi x)$なので,
\begin{align} \sum_{k=1}^{I(x)}\frac{F_k}{k}=O\pas{\frac{x}{\log_\varphi x}} \end{align}
と考えられます. 素数定理を思い出せば, 左辺の和の発散スピードは素数計数関数$\pi(x)$の定数倍程度であることが分かります.

投稿日:20201229

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解析数論が好きです! ねこに包まれたい。

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