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Fibonacci数列の面白いオーダー

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Fibonacci数で遊んでいたら, 次のようなオーダーが得られました.
新しい関数を導入し, そのオーダーを調べていたときの副産物として導出できたので, 証明はかなり長いです. もし簡単に証明できそうだと感じたらぜひ教えてください!

{Fn}n=1をFibonacci数列とする. 1より大きい実数xに対して, Fnx<Fn+1を満たす自然数nはただひとつ存在する. そこで, このnI(x)と書くことにする. またI(1)=2と定める.

k=1I(x)Fkk=FI(x)+2I(x)+1+logφx+O(1)
但し, φ=1+52である.

少し補足しておくと, 定義からFI(x)=O(x),I(x)=O(logφx)なので,
k=1I(x)Fkk=O(xlogφx)
と考えられます. 素数定理を思い出せば, 左辺の和の発散スピードは素数計数関数π(x)の定数倍程度であることが分かります.

投稿日:20201229
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解析数論が好きです! ねこに包まれたい。

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