Fibonacci数列の面白いオーダー

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Fibonacci数で遊んでいたら, 次のようなオーダーが得られました.
新しい関数を導入し, そのオーダーを調べていたときの副産物として導出できたので, 証明はかなり長いです. もし簡単に証明できそうだと感じたらぜひ教えてください！

${F_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ をFibonacci数列とする. $1$ より大きい実数 $x$ に対して, $F_{n} \leq x < F_{n + 1}$ を満たす自然数 $n$ はただひとつ存在する. そこで, この $n$ を $I (x)$ と書くことにする. また $I (1) = 2$ と定める.

$\begin{array}{r} \sum_{k = 1}^{I (x)} \frac{F_{k}}{k} = \frac{F_{I (x) + 2}}{I (x) + 1} + \log_{φ} x + O (1) \end{array}$
但し, $φ = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ である.

少し補足しておくと, 定義から $F_{I (x)} = O (x), I (x) = O (\log_{φ} x)$ なので,
$\begin{array}{r} \sum_{k = 1}^{I (x)} \frac{F_{k}}{k} = O (\frac{x}{\log_{φ} x}) \end{array}$
と考えられます. 素数定理を思い出せば, 左辺の和の発散スピードは素数計数関数 $π (x)$ の定数倍程度であることが分かります.

投稿日：2020年12月29日

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Sep

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解析数論が好きです！ねこに包まれたい。

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