Fibonacci数で遊んでいたら, 次のようなオーダーが得られました.新しい関数を導入し, そのオーダーを調べていたときの副産物として導出できたので, 証明はかなり長いです. もし簡単に証明できそうだと感じたらぜひ教えてください!
{Fn}n=1∞をFibonacci数列とする. 1より大きい実数xに対して, Fn≤x<Fn+1を満たす自然数nはただひとつ存在する. そこで, このnをI(x)と書くことにする. またI(1)=2と定める.
∑k=1I(x)Fkk=FI(x)+2I(x)+1+logφx+O(1)但し, φ=1+52である.
少し補足しておくと, 定義からFI(x)=O(x),I(x)=O(logφx)なので,∑k=1I(x)Fkk=O(xlogφx)と考えられます. 素数定理を思い出せば, 左辺の和の発散スピードは素数計数関数π(x)の定数倍程度であることが分かります.
バッチを贈ると投稿者に現金やAmazonのギフトカードが還元されます。