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比例式の値と固有値

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はじめに

次のようなツイートを見て,なんだかよくわからなかったので考えました。
@CLCbXY8IVF7BsPV さんのツイート

0でない3a,b,c
b+ca=c+ab=a+bc
を満たすとき,この式の値を求めよ。
授業する側が,そもそもこの問題をなぜ授業で扱うのか、この問題で何が学べるのかを理解していないランキングでかなり上位に入りそう。

とりあえず式の値を求める(H.O.さんの指摘により追記(2020.12.29.19:15))

b+ca=c+ab=a+bc=kとおく。すると,
{ak=b+cbk=c+ack=a+b
が得られ,これらの辺々を加えるとk(a+b+c)=2(a+b+c)()となる。

  • a+b+c0のとき
    ()よりk=2を得る。このとき,元の式からa=b=cが得られ,このようなa, b, c,は確かに存在するので,k=2
  • a+b+c=0のとき
    c=(a+b)とすればa+bc=a+b(a+b)=1

次なるヒント

元ツイートに対して以下のような反応がありました。
@miyamath84 さんのツイート

固有値。

さらに @miyamath84 さんは続けて

先の固有値発言は3×3行列
0 1 1
1 0 1
1 1 0
の固有値がその式の値と一致するという意味です。

固有値の計算

ということで,A=(011101110)の固有値を計算します。E3次正方行列として,固有方程式det(kEA)=0を解きます。kEA=(k111k111k)なので,これの行列式をサラスの方法などを用いて計算すると,(k2)(k+1)2となり,この多項式の根は2,1となり,確かに先に計算した式の値と一致しています。

もう一歩先へ

ここで固有値,固有ベクトルのことについてもう少し考えます。固有値,固有ベクトルとはそもそもn次元ベクトル空間上の線形変換を表す行列Aに対して,Ax=kxを満たすような実数kAの固有値,ベクトル空間上の元xを固有値kに対するAの固有ベクトルと呼んでいました。
ここで, x=(abc)として,先のAに対してAx=kxを計算してみる。
すると,
k(abc)=(b+cc+aa+b)となり,これは最初に求めた比例式の式の値を求める計算そのものである。

投稿日:20201229
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投稿者

とも
とも
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広島県の高校で数学の教員をやっていたはずなのに,気づけば違う仕事をしております。高校数学と大学で学ぶ数学の橋渡しのようなことができればいいなと思っています。記事に誤り等あれば教えてください。

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