フィボナッチ数列を拡張したk-ナッチ数列の一般項についての予想(その3)

これまでと同じように
$f_k(z)=z^k-z^{k-1}-\cdots-z^2-z-1$
\begin{align} E_k(z)&=z^{k+1}−2z^k+1\\ &=(z−1)f_k(z) \end{align}
とします。さらに

\begin{align} G_k(z)&:=z+z^{-k}-2\\ &=z^{-k}E_k(z) \end{align}
とすると、 $G_k(z)$ の零点と $E_k(z)$ の零点は一致します。
絶対値が１未満の零点を一つ選び $z_0$とします。
$z_0+z_0^{-k}-2=0$
を変形して
$z_0^{-k}=2-z_0$
とすると、 $z_0^{-k}$ は複素数平面上、$z=2$ を中心とする半径1の円内の領域にあることがわかります。
複素数平面上の領域について逆数をとる操作をすると、単位円に対して反転して実軸に対して鏡像となり、また、円形の領域は円形の領域に移ることから、 $z_0^{k}$ は複素数平面上、実軸方向に中心を持ち単位円に内接する半径 ${\displaystyle \frac{1}{3}}$とする半径1の円内の領域にあることがわかります。
複素数平面上の領域についてべき乗をとる操作をすると、絶対値がべき乗され、偏角はべき指数倍され、また、円形の領域は円形の領域に移ることから、 $z_0$ は複素数平面上、中心が偏角$\frac{2j\pi}{k}(j=0,1,2,3,\cdots ,k-1)$ 方向で直径が $\left(1-\frac{1}{\sqrt[k]{3}}\right)$ の $k$ 個の円内の領域に存在することになります。
ただし、 $j=0$ すなわち実軸方向にある領域についての解は $z_0=1$ ということになりますが、これは $f_k(z)$ の零点ではありませんので、結局、 $f_k(z)=0$ の 絶対値が１未満の解は、複素数平面上、中心が偏角$\frac{2j\pi}{k}(j=1,2,3,\cdots ,k-1)$ 方向で直径が $\left(1-\frac{1}{\sqrt[k]{3}}\right)$ の $(k-1)$ 個の円内の領域に存在することがわかりました。

$k=2$ のときは明らかなので、以下では $k>2$ の場合について考えます。
まず、 $G_k(z)$ をを微分すると
$G_k(z)=z+z^{-k}-2$
$G_k'(z)=-kz^{-k-1}+1$
$G_k''(z)=k(k+1)z^{-k-2}+1$
となります。

$A_{k-1}+A_{k-1}^{-(k-1)}-2=0$
を使って $A_{k-1}\leqq z\leqq2$ の範囲での $G_k(z)$ のふるまいを調べると

\begin{align} G_k(A_{k-1})&=A_{k-1}+A_{k-1}^{-k}-2\\ &=-(A_{k-1}^{-(k-1)}-A_{k-1}^{-k})\\ &=-A_{k-1}^{-k}(A_{k-1}-1)\\ &<0 \end{align}

\begin{align} G_k(2)&=2^{-k}\\ &>0 \end{align}

\begin{align} G_k'(A_{k-1})&=-kA_{k-1}^{-k-1}+1\\ &\geqq -k\varphi^{-k-1}+1\\ &>0 \end{align}

\begin{align} G_k'(2)&=-k\cdot2^{-k-1}+1\\ &>0 \end{align}

\begin{align} G_k''(z)&=k(k+1)z^{-k-2}+1\\ &>0 \end{align}

となりますので、 $G_k(z)$ は $A_{k-1}\leqq z\leqq2$ の範囲で下に凸で単調増加、かつ $A_{k-1}\leqq z\leqq2$ の範囲に零点 $(=A_k)$ を持ちます。
グラフの形から
$A_k<2- \frac{G_k(2)}{G_k'(2)}$
とわかります。上記の式を代入すれば、
\begin{align} A_k&<2- \frac{2^{-k}}{-k\cdot2^{-k-1}+1}\\ &=2- \frac{2}{2^{k+1}-k}\\ \end{align}

と評価できます。

　
${\displaystyle R_k(n)=a_k(n)-\frac{A_k^n}{B_k}}$
${\displaystyle R_k(n+1)=a_k(n+1)-\frac{A_k^{n+1}}{B_k}}$
${\displaystyle R_k(n+2)=a_k(n+2)-\frac{A_k^{n+2}}{B_k}}$
　　　$\vdots$
${\displaystyle R_k(n+k-1)=a_k(n+k-1)-\frac{A_k^{n+k-1}}{B_k}}$
${\displaystyle -R_k(n+k)=-a_k(n+k)+\frac{A_k^{n+k}}{B_k}}$

これらの式の辺々を足し、$a(n+k)=a(n+k-1)+\cdots+a(n+1)+a(n)$　及び　
$A_k^{n+k}=A_k^{n+k-1}+\cdots+A_k^{n+1}+A_k^{n}$ を適用すれば

$R_k(n+k)=R_k(n+k-1)+\cdots+R_k(n+1)+R_k(n)$

$(z-1)f_k(z)=z^{k+1}-2z^k+1$
$f_k(z)+(z-1)f_k'(z)=(k+1)z^k-2kz^{k-1}$
$z\ne1$ のときは
${\displaystyle f_k'(z)=\frac{(k+1)z^k-2kz^{k-1}-f_k(z)}{z-1}}$
したがって
${\displaystyle \begin{align} B_k&=f_k'(A_k)\\ &=\frac{(k+1)A_k^k-2kA_k^{k-1}-f_k(A_k)}{A_k-1}\\ &=\frac{(k+1)A_k^k-2kA_k^{k-1}}{A_k-1}\\ \end{align} }$