フィボナッチ数列を拡張したk-ナッチ数列の一般項についての予想(その3)

これまでと同じように
$f_k(z)=z^k-z^{k-1}-\cdots -z^2-z-1$
$$\begin{array}{rl}{E}_k(z)& =z^{k+1}-2z^k+1\\ & =(z-1)f_k(z)\end{array}$$
とします。さらに

$$\begin{array}{rl}{G}_k(z)& :=z+z^{-k}-2\\ & =z^{-k}{E}_k(z)\end{array}$$
とすると、 $G_k(z)$ の零点と $E_k(z)$ の零点は一致します。
絶対値が１未満の零点を一つ選び $z_0$とします。
$z_0+z_0^{-k}-2=0$
を変形して
$z_0^{-k}=2-z_0$
とすると、 $z_0^{-k}$ は複素数平面上、$z=2$ を中心とする半径1の円内の領域にあることがわかります。
複素数平面上の領域について逆数をとる操作をすると、単位円に対して反転して実軸に対して鏡像となり、また、円形の領域は円形の領域に移ることから、 $z_0^k$ は複素数平面上、実軸方向に中心を持ち単位円に内接する半径 ${\displaystyle \frac{1}{3}}$とする半径1の円内の領域にあることがわかります。
複素数平面上の領域についてべき乗をとる操作をすると、絶対値がべき乗され、偏角はべき指数倍され、また、円形の領域は円形の領域に移ることから、 $z_0$ は複素数平面上、中心が偏角$\frac{2j\pi }{k}(j=0,1,2,3,\cdots ,k-1)$ 方向で直径が $(1-\frac{1}{\sqrt[k]{3}})$ の $k$ 個の円内の領域に存在することになります。
ただし、 $j=0$ すなわち実軸方向にある領域についての解は $z_0=1$ ということになりますが、これは $f_k(z)$ の零点ではありませんので、結局、 $f_k(z)=0$ の 絶対値が１未満の解は、複素数平面上、中心が偏角$\frac{2j\pi }{k}(j=1,2,3,\cdots ,k-1)$ 方向で直径が $(1-\frac{1}{\sqrt[k]{3}})$ の $(k-1)$ 個の円内の領域に存在することがわかりました。

$k=2$ のときは明らかなので、以下では $k>2$ の場合について考えます。
まず、 $G_k(z)$ をを微分すると
$G_k(z)=z+z^{-k}-2$
$G_k^{\prime }(z)=-k{z}^{-k-1}+1$
$G_k^{″}(z)=k(k+1)z^{-k-2}+1$
となります。

$A_{k-1}+A_{k-1}^{-(k-1)}-2=0$
を使って $A_{k-1}\leqq z\leqq 2$ の範囲での $G_k(z)$ のふるまいを調べると

$$\begin{array}{rl}{G}_k(A_{k-1})& =A_{k-1}+A_{k-1}^{-k}-2\\ & =-(A_{k-1}^{-(k-1)}-A_{k-1}^{-k})\\ & =-A_{k-1}^{-k}(A_{k-1}-1)\\ & <0\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}{G}_k(2)& =2^{-k}\\ & >0\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}{G}_k^{\prime }(A_{k-1})& =-k{A}_{k-1}^{-k-1}+1\\ & \geqq -k{\phi }^{-k-1}+1\\ & >0\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}{G}_k^{\prime }(2)& =-k\cdot 2^{-k-1}+1\\ & >0\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}{G}_k^{″}(z)& =k(k+1)z^{-k-2}+1\\ & >0\end{array}$$

となりますので、 $G_k(z)$ は $A_{k-1}\leqq z\leqq 2$ の範囲で下に凸で単調増加、かつ $A_{k-1}\leqq z\leqq 2$ の範囲に零点 $(=A_k)$ を持ちます。
グラフの形から
$A_k<2-\frac{G_k(2)}{G_k^{\prime }(2)}$
とわかります。上記の式を代入すれば、
$$\begin{array}{rl}{A}_k& <2-\frac{2^{-k}}{-k\cdot 2^{-k-1}+1}\\ & =2-\frac{2}{2^{k+1}-k}\end{array}$$

と評価できます。

　
${\displaystyle R_k(n)=a_k(n)-\frac{A_k^n}{B_k}}$
${\displaystyle R_k(n+1)=a_k(n+1)-\frac{A_k^{n+1}}{B_k}}$
${\displaystyle R_k(n+2)=a_k(n+2)-\frac{A_k^{n+2}}{B_k}}$
　　　$⋮$
${\displaystyle R_k(n+k-1)=a_k(n+k-1)-\frac{A_k^{n+k-1}}{B_k}}$
${\displaystyle -R_k(n+k)=-a_k(n+k)+\frac{A_k^{n+k}}{B_k}}$

これらの式の辺々を足し、$a(n+k)=a(n+k-1)+\cdots +a(n+1)+a(n)$　及び　
$A_k^{n+k}=A_k^{n+k-1}+\cdots +A_k^{n+1}+A_k^n$ を適用すれば

$R_k(n+k)=R_k(n+k-1)+\cdots +R_k(n+1)+R_k(n)$

$(z-1)f_k(z)=z^{k+1}-2z^k+1$
$f_k(z)+(z-1)f_k^{\prime }(z)=(k+1)z^k-2k{z}^{k-1}$
$z\ne 1$ のときは
${\displaystyle f_k^{\prime }(z)=\frac{(k+1)z^k-2k{z}^{k-1}-f_k(z)}{z-1}}$
したがって
${\displaystyle \begin{array}{rl}{B}_k& =f_k^{\prime }(A_k)\\ & =\frac{(k+1)A_k^k-2k{A}_k^{k-1}-f_k(A_k)}{A_k-1}\\ & =\frac{(k+1)A_k^k-2k{A}_k^{k-1}}{A_k-1}\end{array}}$