級数解説11
級数botでツイートされた級数です。
https://twitter.com/infseriesbot/status/1343875655411191808?s=21
$$ \displaystyle \sum_{n=1}^\infty\sum_{m=1}^\infty \frac{(n-1)!(m-1)!}{(n+m)!}=\frac{\pi^2}6 $$
$$\d\sum_{n=1}^\infty\frac1{n(n+1)\ldots(n+m)}=\frac1{mm!}~~~~~\l m\in\Z_{>0} \r$$
$\d\Z_{>0} $は正の整数を指します。
$\d a_n=\frac1{n(n+1)\ldots(n+m-1)} $と置くと、
$ \begin{eqnarray*} &&a_n-a_{n+1}\\ &=&\frac1{n(n+1)\ldots(n+m-1)}-\frac1{(n+1)(n+2)\ldots(n+m)}\\ &=&\frac1{(n+1)(n+2)\ldots(n+m-1)}\l\frac1n-\frac1{n+m} \r\\ &=&\frac m{n(n+1)\ldots(n+m)} \end{eqnarray*} $
となります。よって、
$ \begin{eqnarray*} &&\sum_{n=1}^\infty\frac1{n(n+1)\ldots(n+m)}&\\ &=&\frac1m\sum_{n=1}^\infty\l a_n-a_{n+1} \r&\\ &=&\frac1m\lim_{p\rightarrow\infty}\sum_{n=1}^p\l a_n-a_{n+1} \r\\ &=&\frac1m\lim_{p\rightarrow\infty}\l a_1-a_{p+1} \r\\ &=&\frac1ma_1&\l\because\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0 \r\\ &=&\frac1m\cdot\frac1{1\cdot2\cdot\ldots\cdot m}&\\ &=&\frac1{mm!}\qed& \end{eqnarray*} $
それでは本題に移りましょう。
[解説]
$ \begin{eqnarray*} &&\sum_{n,m=1}^\infty \frac{(n-1)!(m-1)!}{(n+m)!}\\ &=&\sum_{m=1}^\infty(m-1)!\sum_{n=1}^\infty\frac1{n(n+1)\ldots(n+m)}\\ &=&\sum_{m=1}^\infty\frac{(m-1)!}{mm!}\\ &=&\sum_{m=1}^\infty\frac1{m^2}\\ &=&\z(2)\\ &=&\frac{\pi^2}6\qed \end{eqnarray*} $
よって、
$\d \sum_{n,m=1}^\infty\frac{(n-1)!(m-1)!}{(n+m)!}=\frac{\pi^2}6$
が証明されました。美しいですね。