大学数学基礎解説

級数解説11

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級数botでツイートされた級数です。

https://twitter.com/infseriesbot/status/1343875655411191808?s=21

$\sum_{n = 1}^{\infty} \sum_{m = 1}^{\infty} \frac{(n - 1)! (m - 1)!}{(n + m)!} = \frac{π^{2}}{6}$

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n (n + 1) \dots (n + m)} = \frac{1}{m m!} (m \in Z_{> 0})$

$Z_{> 0}$ は正の整数を指します。

$a_{n} = \frac{1}{n (n + 1) \dots (n + m - 1)}$ と置くと、

$\begin{array}{rcl} a_{n} - a_{n + 1} \\ = & \frac{1}{n (n + 1) \dots (n + m - 1)} - \frac{1}{(n + 1) (n + 2) \dots (n + m)} \\ = & \frac{1}{(n + 1) (n + 2) \dots (n + m - 1)} (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + m}) \\ = & \frac{m}{n (n + 1) \dots (n + m)} \end{array}$

となります。よって、

$\begin{array}{rclr} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n (n + 1) \dots (n + m)} \\ = & \frac{1}{m} \sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} - a_{n + 1}) \\ = & \frac{1}{m} lim_{p \to \infty} \sum_{n = 1}^{p} (a_{n} - a_{n + 1}) \\ = & \frac{1}{m} lim_{p \to \infty} (a_{1} - a_{p + 1}) \\ = & \frac{1}{m} a_{1} & (∵ lim_{n \to \infty} a_{n} = 0) \\ = & \frac{1}{m} \cdot \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot m} \\ = & \frac{1}{m m!} ◻ \end{array}$

それでは本題に移りましょう。

[解説]

$\begin{array}{rcl} \sum_{n, m = 1}^{\infty} \frac{(n - 1)! (m - 1)!}{(n + m)!} \\ = & \sum_{m = 1}^{\infty} (m - 1)! \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n (n + 1) \dots (n + m)} \\ = & \sum_{m = 1}^{\infty} \frac{(m - 1)!}{m m!} \\ = & \sum_{m = 1}^{\infty} \frac{1}{m^{2}} \\ = & ζ (2) \\ = & \frac{π^{2}}{6} ◻ \end{array}$