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級数解説11

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$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{d}[0]{\displaystyle} \newcommand{f}[0]{<} \newcommand{i}[1]{\int_0^{#1}} \newcommand{l}[0]{\left(} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{qed}[0]{~~~~~~~~~~\square} \newcommand{r}[0]{\right)} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{tria}[0]{\tau\rho\iota\alpha} \newcommand{v}[0]{\varnothing} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} \newcommand{z}[0]{\zeta} $$

級数botでツイートされた級数です。

https://twitter.com/infseriesbot/status/1343875655411191808?s=21

$$ \displaystyle \sum_{n=1}^\infty\sum_{m=1}^\infty \frac{(n-1)!(m-1)!}{(n+m)!}=\frac{\pi^2}6 $$

$$\d\sum_{n=1}^\infty\frac1{n(n+1)\ldots(n+m)}=\frac1{mm!}~~~~~\l m\in\Z_{>0} \r$$

$\d\Z_{>0} $は正の整数を指します。

$\d a_n=\frac1{n(n+1)\ldots(n+m-1)} $と置くと、

$ \begin{eqnarray*} &&a_n-a_{n+1}\\ &=&\frac1{n(n+1)\ldots(n+m-1)}-\frac1{(n+1)(n+2)\ldots(n+m)}\\ &=&\frac1{(n+1)(n+2)\ldots(n+m-1)}\l\frac1n-\frac1{n+m} \r\\ &=&\frac m{n(n+1)\ldots(n+m)} \end{eqnarray*} $

となります。よって、

$ \begin{eqnarray*} &&\sum_{n=1}^\infty\frac1{n(n+1)\ldots(n+m)}&\\ &=&\frac1m\sum_{n=1}^\infty\l a_n-a_{n+1} \r&\\ &=&\frac1m\lim_{p\rightarrow\infty}\sum_{n=1}^p\l a_n-a_{n+1} \r\\ &=&\frac1m\lim_{p\rightarrow\infty}\l a_1-a_{p+1} \r\\ &=&\frac1ma_1&\l\because\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0 \r\\ &=&\frac1m\cdot\frac1{1\cdot2\cdot\ldots\cdot m}&\\ &=&\frac1{mm!}\qed& \end{eqnarray*} $

それでは本題に移りましょう。

[解説]

$ \begin{eqnarray*} &&\sum_{n,m=1}^\infty \frac{(n-1)!(m-1)!}{(n+m)!}\\ &=&\sum_{m=1}^\infty(m-1)!\sum_{n=1}^\infty\frac1{n(n+1)\ldots(n+m)}\\ &=&\sum_{m=1}^\infty\frac{(m-1)!}{mm!}\\ &=&\sum_{m=1}^\infty\frac1{m^2}\\ &=&\z(2)\\ &=&\frac{\pi^2}6\qed \end{eqnarray*} $

よって、

$\d \sum_{n,m=1}^\infty\frac{(n-1)!(m-1)!}{(n+m)!}=\frac{\pi^2}6$

が証明されました。美しいですね。

投稿日:20201229

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投稿者

神鳥奈紗
神鳥奈紗
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遭難者です.高専1年です.MZV,級数,積分をメインにやっています.

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