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級数解説11

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級数botでツイートされた級数です。

https://twitter.com/infseriesbot/status/1343875655411191808?s=21

n=1m=1(n1)!(m1)!(n+m)!=π26

n=11n(n+1)(n+m)=1mm!     (mZ>0)

Z>0は正の整数を指します。

an=1n(n+1)(n+m1)と置くと、

anan+1=1n(n+1)(n+m1)1(n+1)(n+2)(n+m)=1(n+1)(n+2)(n+m1)(1n1n+m)=mn(n+1)(n+m)

となります。よって、

n=11n(n+1)(n+m)=1mn=1(anan+1)=1mlimpn=1p(anan+1)=1mlimp(a1ap+1)=1ma1(limnan=0)=1m112m=1mm!          

それでは本題に移りましょう。

[解説]

n,m=1(n1)!(m1)!(n+m)!=m=1(m1)!n=11n(n+1)(n+m)=m=1(m1)!mm!=m=11m2=ζ(2)=π26          

よって、

n,m=1(n1)!(m1)!(n+m)!=π26

が証明されました。美しいですね。

投稿日:20201229
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神鳥奈紗
神鳥奈紗
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遭難者です.高専1年です.MZV,級数,積分をメインにやっています.

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