級数botでツイートされた級数です。
https://twitter.com/infseriesbot/status/1343875655411191808?s=21
∑n=1∞∑m=1∞(n−1)!(m−1)!(n+m)!=π26
∑n=1∞1n(n+1)…(n+m)=1mm! (m∈Z>0)
Z>0は正の整数を指します。
an=1n(n+1)…(n+m−1)と置くと、
an−an+1=1n(n+1)…(n+m−1)−1(n+1)(n+2)…(n+m)=1(n+1)(n+2)…(n+m−1)(1n−1n+m)=mn(n+1)…(n+m)
となります。よって、
∑n=1∞1n(n+1)…(n+m)=1m∑n=1∞(an−an+1)=1mlimp→∞∑n=1p(an−an+1)=1mlimp→∞(a1−ap+1)=1ma1(∵limn→∞an=0)=1m⋅11⋅2⋅…⋅m=1mm! ◻
それでは本題に移りましょう。
[解説]
∑n,m=1∞(n−1)!(m−1)!(n+m)!=∑m=1∞(m−1)!∑n=1∞1n(n+1)…(n+m)=∑m=1∞(m−1)!mm!=∑m=1∞1m2=ζ(2)=π26 ◻
よって、
∑n,m=1∞(n−1)!(m−1)!(n+m)!=π26
が証明されました。美しいですね。
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