一階微分方程式

微分方程式

$x$の関数$y$とその高次導関数を含む関係式$ f(x,y, y^{\prime},・・・, y^{(n)})=0 $を微分方程式といい,その中に含まれる導関数の最高次数を,その微分方程式の階数.

一階微分方程式

変数分離系

$\frac{dy}{dx} = f(x)g(y) $の形で表される微分方程式.$ \int \frac{dy}{g(y)}= \int f(x)dx+c$によって

一般解を求めることができる(以下,$c$は任意定数とする).

同次系

$ \frac{dy}{dx} =f( \frac{y}{x} ) $の形で表される微分方程式.$ u= \frac{y}{x}(y=ux) $と置換すると,

$ \frac{dy}{dx} =u+x \frac{du}{dx} =f(u) $となり,変数分離系に帰着される.

一階線形微分方程式

$ \frac{dy}{dx} +P(x)y=Q(x) $の形で表される微分方程式.

両辺に$ e^{ \int p(x)dx} $をかけると,

$ \frac{dy}{dx} e^{ \int p(x)dx} ＋\frac{dy}{dx} e^{ \int p(x)dx} = (ye^{ \int p(x)dx})^{\prime} = Q(x)e^{ \int p(x)dx}$.

両辺積分して$e^{ -\int p(x)dx}$をかけて,$y=e^{ -\int p(x)dx}\{\int Q(x)e^{ \int p(x)dx}dx+C\}$.

完全微分系

$P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$かつ$\frac{ \partial p }{ \partial y }=\frac{ \partial Q }{ \partial x } $が成り立つ微分方程式.

$ \frac{ \partial \overline{ U } }{ \partial x } =P,\frac{ \partial \overline{ U } }{ \partial y }=Q $となる,ある関数$\overline{ U }(x,y) $に対して,

$Pdx+Qdy= \frac{ \partial \overline{ U } }{ \partial x }dx+ \frac{ \partial \overline{ U } }{ \partial x } dy=d \overline{ U }=0 $.

両辺を積分すると,

$ \overline{ U }= \int Pdx+g(y)=C$.

両辺$y$で微分して

$ \frac{ \partial \overline{ U } }{ \partial x } = \frac{ \partial }{ \partial x } \int Pdx+ g^{\prime}(y)=Q $ $\rightarrow g^{\prime}(y)=Q- \frac{ \partial }{ \partial x } \int Pdx $

$ \rightarrow g(y)= \int (Q- \frac{ \partial }{ \partial x } \int Pdx )dy $

$\rightarrow \overline{ U }= \int Pdx+ \int (Q- \frac{ \partial }{ \partial x } \int Pdx)dy=C $.

その他の微分方程式

(1)$\frac{dy}{dx} =f(ax+by+c) $の形で表される場合,$u=ax+by+c$と置換する

と,$\frac{du}{dx} =a+b \frac{dy}{dx} =a+bf(u) $
となり,変数分離系に帰着される.

(2)$\frac{dy}{dx} =f( \frac{k(ax+by)+d}{ax+by+c} ) $の形で表される場合,$u=ax+by$と置換すると,

$\frac{du}{dx}=a+b \frac{dy}{dx} =a+bf( \frac{ku+d}{u+c} )$となり,変数分離系に帰着される.

(3)$\frac{dy}{dx} =f( \frac{px+gy+r}{ax+by+c} ) $の形で表される場合,$ax+by+c=px+gy+r=0$

の解$x= \alpha,y= \beta$に対して$X=x- \alpha,Y=y- \beta$と置換すると,

$ \frac{dY}{dX}=f( \frac{pX+gY}{aX+bY} ) $となり,同次形に帰着される.

(4)$ \frac{dy}{dx} +P(x)y=Q(x) y^{n}(n \neq 0,1) $の形で表される場合(ベルヌイ型),

$u=y^{1-n}$と置換すると,$ \frac{du}{dx}+(1-n)P(x)u=(1-n)Q(x) $となり,一階線

形に帰着される.