一階微分方程式

微分方程式

$x$の関数$y$とその高次導関数を含む関係式$f(x,y,y^{\prime },・・・,y^{(n)})=0$を微分方程式といい,その中に含まれる導関数の最高次数を,その微分方程式の階数.

一階微分方程式

変数分離系

$\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)$の形で表される微分方程式.$\int \frac{dy}{g(y)}=\int f(x)dx+c$によって

一般解を求めることができる(以下,$c$は任意定数とする).

同次系

$\frac{dy}{dx}=f(\frac{y}{x})$の形で表される微分方程式.$u=\frac{y}{x}(y=ux)$と置換すると,

$\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}=f(u)$となり,変数分離系に帰着される.

一階線形微分方程式

$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$の形で表される微分方程式.

両辺に$e^{\int p(x)dx}$をかけると,

$\frac{dy}{dx}{e}^{\int p(x)dx}＋\frac{dy}{dx}{e}^{\int p(x)dx}=(y{e}^{\int p(x)dx}{)}^{\prime }=Q(x)e^{\int p(x)dx}$.

両辺積分して$e^{-\int p(x)dx}$をかけて,$y=e^{-\int p(x)dx}\{\int Q(x)e^{\int p(x)dx}dx+C\}$.

完全微分系

$P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$かつ$\frac{\partial p}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$が成り立つ微分方程式.

$\frac{\partial \bar{U}}{\partial x}=P,\frac{\partial \bar{U}}{\partial y}=Q$となる,ある関数$\bar{U}(x,y)$に対して,

$Pdx+Qdy=\frac{\partial \bar{U}}{\partial x}dx+\frac{\partial \bar{U}}{\partial x}dy=d\bar{U}=0$.

両辺を積分すると,

$\bar{U}=\int Pdx+g(y)=C$.

両辺$y$で微分して

$\frac{\partial \bar{U}}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}\int Pdx+g^{\prime }(y)=Q$ $\to g^{\prime }(y)=Q-\frac{\partial }{\partial x}\int Pdx$

$\to g(y)=\int (Q-\frac{\partial }{\partial x}\int Pdx)dy$

$\to \bar{U}=\int Pdx+\int (Q-\frac{\partial }{\partial x}\int Pdx)dy=C$.

その他の微分方程式

(1)$\frac{dy}{dx}=f(ax+by+c)$の形で表される場合,$u=ax+by+c$と置換する

と,$\frac{du}{dx}=a+b\frac{dy}{dx}=a+bf(u)$
となり,変数分離系に帰着される.

(2)$\frac{dy}{dx}=f(\frac{k(ax+by)+d}{ax+by+c})$の形で表される場合,$u=ax+by$と置換すると,

$\frac{du}{dx}=a+b\frac{dy}{dx}=a+bf(\frac{ku+d}{u+c})$となり,変数分離系に帰着される.

(3)$\frac{dy}{dx}=f(\frac{px+gy+r}{ax+by+c})$の形で表される場合,$ax+by+c=px+gy+r=0$

の解$x=\alpha ,y=\beta$に対して$X=x-\alpha ,Y=y-\beta$と置換すると,

$\frac{dY}{dX}=f(\frac{pX+gY}{aX+bY})$となり,同次形に帰着される.

(4)$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^n(n\ne 0,1)$の形で表される場合(ベルヌイ型),

$u=y^{1-n}$と置換すると,$\frac{du}{dx}+(1-n)P(x)u=(1-n)Q(x)$となり,一階線

形に帰着される.