複素座標入門　練習問題まとめ

次の命題を示せ．
(1)任意の複素数$a,b$に対して$\overline{a\pm b}=\bar{a}\pm \bar{b},\overline{ab}=\bar{a}\bar{b}$が成り立つ．
(2)任意の複素数$z$に対して$Re(z)={\displaystyle \frac{1}{2}(z+\bar{z}),Im(z)=\frac{1}{2i}(z-\bar{z}),|z|=\sqrt{z\bar{z}}}$,$z$が実数$,⟺z=\bar{z},z$が純虚数$⟺z+\bar{z}=0$．

$4\sqrt{3}+4i$の平方根をすべて求めよ．

平面上に2点$A,B$がある．次の図形の方程式を$a,b$で表せ．
(1)直線$AB$
(2)線分$AB$の垂直二等分線
(3)線分$AB$を直径とする円

次の4つの数のうち複素数$a,b (|a|,|b|=1)$の値にかかわらず実数となるものをすべて選べ．
${\displaystyle \frac{ab+a+b+1}{a^2+b^2-1},\frac{ab(a+b)}{a^2{b}^2+a^{2}b+a{b}^2+a+b+1},\frac{a^3+b^3}{(a^2+b)(b^2+a)},\frac{(Re(a)+Im(b)i)(Re(b)+Im(a)i)}{Re(ab)+Im(ab)Re({\displaystyle \frac{a^2+b^2}{2ab})i}}}$

原点$O$,および原点でない異なる点$A,B$に対して三角形$OAB$の重心,外心の座標を求めよ．

平面上に点$O$と点$A$に対して次のような操作を考える．
操作：点$A$を半直線$OA$上の$OA\cdot O{A}^{\prime }=1$を満たす点$A^{\prime }$に移す．
この操作を図形$X$上のすべての点に対して行ったとき$X$が移る先を$X^{\prime }$とおく．次のことを複素座標を用いて示せ．
(1)$X$が$O$を通らない円のとき,$X^{\prime }$も$O$を通らない円である．
(2)$X$が$O$を通る円のとき,$X^{\prime }$は$O$を通らない直線である．

複素座標を用いてスチュワートの定理を示せ．スチュワートの定理の主張は次のとおりである．
:三角形$ABC$の辺$BC$に点$P$を取ったとき,$A{B}^2\cdot CP+A{C}^2\cdot BP=BC(BP\cdot CP+A{P}^2)$が成り立つ．

直交座標平面上に3点$A(m,n),B(-n,m),C(m-n,m+n) (m,n)=(0,0)$がある．
複素座標を用いて$\mathrm{\angle }BAC={135}^{\circ }$を示せ

直線$az+b\bar{z}=c (a\ne 0)$と原点の距離は$b$によらないことを示せ．

(1)絶対値が$r$で偏角が$\theta$である複素数$\alpha$について$Re(\alpha ),Im(\alpha )$を求めよ．
　(2)(1)の結果を用いて$|ab|=|a||b|,\arg ab=\arg a+\arg b$が成り立つことを示せ．

三角形$ABC$が正三角形であるとき,$a^3+b^3+c^3=3abc$であることを示せ．

${}_{99}{\mathrm{C}}_0+{}_{99}{\mathrm{C}}_4+\cdots +{}_{99}{\mathrm{C}}_{96}$を計算せよ．

4点${\displaystyle A(a),B(b),A^{\prime }(-\frac{1}{\bar{a}}),B^{\prime }(-\frac{1}{\bar{b}})}$は同一直線上に並ぶか同一円周上に並ぶことを示せ

平面上に三角形$ABC$があり,外部に点$P,Q,R,S$を四角形$ABPQ,ACRS$が正方形になるうにとる．点$A$を通り,直線$QS$に垂直な直線は辺$BC$の中点を通ることを示せ．(長岡の教科書Ⅲより)

平行四辺形$ABCD$があり,直線$AB$上に点$E$がある．$A,B,E$はこの順に並んでおり,$BC=BE$をみたす．$A$から直線$CE$へおろした垂線と線分$AE$の垂直二等分線の交点を$X$とするとき,4点$A,B,D,X$は同一円周上にあることを示せ．$(EGMO$一次予選$2020 4)$

円に内接する六角形$ABCDEF$がある．辺$AB$と辺$DE$が平行であり,辺$BC$と辺$EF$が平行であるとき,辺$CD$と辺$FA$も平行であることを示せ．$(JJMO2011 1)$

円に内接する五角形$A_1,A_2,A_3,A_4,A_5$があり,辺$A_3{A}_4,A_4{A}_5,A_5{A}_1,A_1{A}_2,A_2{A}_3$の中点をそれぞれ$M_1,M_2,M_3,M_4,M_5$とし,三角形$A_5{A}_1{A}_2,A_1{A}_2{A}_3,A_2{A}_3{A}_4,A_3{A}_4{A}_5,A_4{A}_5{A}_1$の垂心をそれぞれ$H_1,H_2,H_3,H_4,H_5$とする．このとき,五角形$M_1{M}_2{M}_3{M}_4{M}_5$と五角形$H_1{H}_2{H}_3{H}_4{H}_5$は相似であることを示せ．

四角形$ABCD$に点$O$を中心とする円が内接している．対角線$AC,BD$の中点をそれぞれ
$M,N$としたとき,$OM:ON=OA\cdot OC:OB\cdot OD$を示せ．($JMO2011$予選$11$改題)

鋭角三角形$ABC$において,外心を$O$,垂心を$H$とする．また,$O$を通り直線$BC$に平行な直線と辺$AB,AC$との交点をそれぞれ$P,Q$とし,線分$AH$の中点を$M$とする．このとき,$\mathrm{\angle }BMP=\mathrm{\angle }CMQ$を示せ．$(JJMO2016 4)$

鋭角三角形$ABC$があり,その外心を$O$とする．3点$A,B,C$から対辺に下ろした垂線の足をそれぞれ$D,E,F$とし,さらに辺$BC$の中点を$M$とする．直線$AD$と直線$EF$の交点を$X$,直線$AO$と直線$BC$の交点を$Y$とし,線分$XY$の中点を$Z$とする．このとき3点$A,Z,M$が同一直線上にあることを示せ．$(JMO2017 3)$

三角形$ABC$の外心を$O$,垂心を$H$とし,直線$AB,BC$上に点$D,E$を,$BC=BE=CD$を満たすようにとる．直線$BE,CD$の交点を$K$とするとき,直線$AK,OH$は直線$BC$上で交わることを示せ．$(peppers 5/7)$

$ABCD$は円$\omega$に内接する四角形であり,$P$は直線$AC$上の点であって,直線$PB$および直線$PD$は$\omega$に接する．$\omega$の点$C$での接線は直線$PD$と点$Q$で交わり,$AD$と点$R$で交わる．直線$AQ$と$\omega$の交点のうち$A$でない方を$E$とする．このとき,3点$B,E,R$は同一直線上にあることを示せ．$(APMO2013 5)$

鋭角三角形$ABC$がある．$A$から$BC$におろした垂線の足を$D$,$BC$の中点を$M$,三角形$ABC$の垂心を$H$とする．三角形$ABC$の外接円$\mathrm{\Gamma }$と半直線$MH$の交点を$E$とし,直線$ED$と円$\mathrm{\Gamma }$の交点のうち$E$でない方を$F$とする．このとき${\displaystyle \frac{BF}{CF}=\frac{AB}{AC}}$が成り立つことを示せ．$(APMO2012 4)$

$n$を自然数としたとき次の4式が成り立つことを示せ．
$r_{\theta +\varphi }=r_{\theta }{r}_{\varphi }, r_{-\theta }={\displaystyle \frac{1}{r_{\theta }}, r_{n\theta }=r_{\theta }^n, \overline{r_{\theta }}=r_{-\theta }}$

図のように2つの正五角形と1つの正方形が組み合わさっているとき,3点$A,B,C$は同一直線にあることを示せ．$(natu$の問27$)$
a

三角形$ABC$は$AB=AC\ne BC$をみたし,$I$をその内心とする．直線$BI$は辺$AC$と$D$で交わり,$D$を通り直線$AC$に垂直な直線は直線$AI$と$E$で交わる．直線$AC$に関して$I$と対称な点は三角形$BDE$の外接円上にあることを示せ．$($春合宿$2017 4)$

円$\omega$に内接する$\mathrm{△}ABC$の内心を$I$,$\mathrm{\angle }A$内の傍心を$J$とする．線分$AI$を直径とする円と$\omega$の交点を$P(\ne A)$,$AJ$を直径とする円と$\omega$の交点を$Q(\ne A)$とするとき,$PQ//BC$を示せ．$(peppers 3/30)$

正9角形$A_1{A}_2\cdots A_9$があり,対角線$A_1{A}_4,A_3{A}_5$の交点を$X$,対角線$A_1{A}_4,A_2{A}_7$の交点を$Y$とする．$\mathrm{\angle }X{A}_{9}Y={20}^{\circ }$を示せ．$(LAN1729$さんのツイートより$)$

三角形$ABC$の外接円の点$A$を含まない方の弧$BC$上を点$P$が動く．三角形$ABP,ACP$の内心をそれぞれ$I_B,I_C$とするとき三角形$P{I}_B{I}_C$の外接円は$P$によらないある定点を通ることを示せ．$(USAJMO 1$改題$)$

三角形$ABC$について,内接円と辺$BC.CA,AB$の接点をそれぞれ$D,E,F$とする．$D$から直線$EF$に下ろした垂線の足を$H$とし,直線$AB$と$CH$の交点を$K$,直線$AC$と$BH$の交点を$L$とする．このとき,$B,C,K,L$は同一直線上にあることを示せ．$(peppers 4/13)$

三角形$ABC$の内部に点$T$を取り,辺$BC,CA,AB$に関して$T$を対称移動したものをそれぞれ$A_1,B_1,C_1$とする．また,三角形$A_1{B}_1{C}_1$の外接円を$\mathrm{\Omega }$とする．直線$A_{1}T,B_{1}T,C_{1}T$が$\mathrm{\Omega }$と再び交わる点をそれぞれ$A_2,B_2,C_2$とする．直線$A{A}_2,B{B}_2,C{C}_2$は$\mathrm{\Omega }$上の一点で交わることを示せ．$(shortlist2018 G4)$

鋭角三角形$ABC$の垂心を$H$とし,線分$BC$の中点を$M$とする．$H$を通り直線$AM$に垂直な直線と直線$AM$との交点を$P$とするとき,$AM\cdot PM=B{M}^2$が成り立つことを示せ．$(JMO2011 1)$

鋭角三角形$ABC$の外心を$O$とする.辺$AB,AC$上(端点を含まない)に点$D,E$をそれぞれ直線$BC$と$DE$が平行とならないようにとり,直線$BC$と$DE$の交点を$F$とおく.$BD$の垂直二等分線と$CE$の垂直二等分線の交点を$K$とおき,直線$KO$と$BC$の交点を$L$とおく.直線$AO$と$DE$の交点を$M$とするとき,4点$F,M,L,O$が同一円周上にあることを示せ.$($春合宿$2019 8)$

$\omega$を内接円に持つ三角形$ABC$がある．$A,B,C$から$BC,CA,AB$へおろした垂線と$\omega$の交点をそれぞれ$P_1$と$P_2$,$P_3$と$P_4$,$P_5$と$P_6$とする．$i=1,2,3$に対して,$P_{2i-1},P_{2i}$での$\omega$の接線の交点を$Q_i$とする．$Q_1,Q_2,Q_3$は同一直線上にあることを示せ．$(peppers 6/2)$

どの辺の長さも相異なる鋭角三角形$ABC$がある．三角形$ABC$の重心$G$と外心$O$を辺$BC,CA,AB$に関して対称移動させた点をそれぞれ$G_1,G_2,G_3,O_1,O_2,O_3$とする．このとき，三角形$G_1{G}_{2}C,G_1{G}_{3}B,G_2{G}_{3}A,O_1{O}_{2}C,O_1{O}_{3}B,O_2{O}_{3}A,ABC$それぞれの外接円は共通の点を通ることを示せ．$(EGMO2017 6)$

三角形$ABC$の内心を$I$,内接円を$\omega$とする．また,辺$BC$の頂点を$M$とする．点$A$を通り直線$BC$に垂直な直線と,点$M$を通り直線$AI$に垂直な直線の交点を$K$とするとき,線分$AK$を直径とする円は$\omega$に接することを示せ．$(JMO2019 4)$

三角形$ABC (AB\ne AC)$の内心を$I$とし，三角形$ABC$の内接円$\omega$は辺$BC,CA,AB$とそれぞれ点$D,E,F$で接する．点$D$を通り$EF$に垂直な直線は$\omega$と点$R(\ne D)$で交わる．また,直線$AR$は$\omega$と点$P(\ne R)$で交わり,三角形$PCE,PBF$の外接円は点$Q(\ne P)$で交わる．
直線$DI,PQ$は点$A$を通り$AI$に垂直な直線上で交わることを示せ．$(shortlist2019 G7(IMO2019 6))$

三角形$ABC$の内心を$I$,外心を$O$とし,内接円と辺$BC,CA,AB$の接点をそれぞれ$D,E,F$とする．$O$から直線$DI,EI,FI$に下ろした垂線の足をそれぞれ$P,Q,R$とし,点$P,Q,R$に関して点$A,B,C$と対称な点をそれぞれ$A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$とする．このとき,三角形$A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$の外接円は三角形$ABC$の外接円と接することを示せ．$(PPAP1 4)$

不等辺三角形$ABC$の外接円を$\mathrm{\Omega }$,内心を$I$とする．直線$AI$は辺$BC$と$D$で交わり,$\mathrm{\Omega }$と$M$で再び交わる．線分$DM$を直径とする円は$\mathrm{\Omega }$と$K$で再び交わり,直線$MK,BC$は$S$で交わる．また,線分$IS$の中点を$N$とし,三角形$KID$の外接円と三角形$MAN$の外接円は2点$L_1,L_2$で交わっているとする．$\mathrm{\Omega }$は線分$I{L}_1,I{L}_2$の中点のどちらかを通ることを示せ．$(USAMO2017 3)$

$AB<AC$なる三角形$ABC$において辺$BC$の中点を$M$,三角形$ABC$の外接円の点$A$を含む方の弧の中点を$D$,含む方の弧の中点を$E$とする．三角形$ABC$の内接円と辺$AB$の接点を$F$とし,$AE,BC$の交点を$G$とする．$B$を通り$AB$に垂直な直線と線分$EF$の交点を$N$とする．$BN=EM$のとき,$DF$は$FG$に垂直であることを示せ．$(ChinaSecondRound2018 2)$