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複素座標入門 練習問題まとめ

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各回で出題した練習問題を再掲します.いつまでも悩むのもアレなので自分で時間を決めてわからない問題はヒント,それでも厳しい場合は想定解集を見ましょう.ヒントは一番下にありますが,あまり役に立たないと思います.
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頑張ってください!!

練習問題

第1回

level1

1@

次の命題を示せ.
(1)任意の複素数$a,b$に対して$\overline{a\pm b}=\overline{a}\pm\overline{b},\overline{ab}=\overline{a}\overline{b}$が成り立つ.
(2)任意の複素数$z$に対して$Re(z)=\displaystyle \frac{1}{2}(z+\overline{z}),Im(z)=\frac{1}{2i}(z-\overline{z}),|z|= \sqrt{z\overline{z}}$,$z$が実数$,\Longleftrightarrow z=\overline{z},z$が純虚数$ \Longleftrightarrow z+\overline{z}=0$

2@

$4\sqrt{3}+4i$の平方根をすべて求めよ.

level2

1@@

平面上に2点$A,B$がある.次の図形の方程式を$a,b$で表せ.
(1)直線$AB$
(2)線分$AB$の垂直二等分線
(3)線分$AB$を直径とする円

2@@

次の4つの数のうち複素数$a,b (|a|,|b|=1)$の値にかかわらず実数となるものをすべて選べ.
$\displaystyle\frac{ab+a+b+1}{a^2+b^2-1},\frac{ab(a+b)}{a^2b^2+a^2b+ab^2+a+b+1},\frac{a^3+b^3}{(a^2+b)(b^2+a)},\frac{(Re(a)+Im(b)i)(Re(b)+Im(a)i)}{Re(ab)+Im(ab)Re(\displaystyle\frac{a^2+b^2}{2ab})i}$

3@@

原点$O$,および原点でない異なる点$A,B$に対して三角形$OAB$の重心,外心の座標を求めよ.

level3

1@@

平面上に点$O$と点$A$に対して次のような操作を考える.
操作:点$A$を半直線$OA$上の$OA\cdot OA^{\prime}=1$を満たす点$A^{\prime}$に移す.
この操作を図形$X$上のすべての点に対して行ったとき$X$が移る先を$X^{\prime}$とおく.次のことを複素座標を用いて示せ.
(1)$X$$O$を通らない円のとき,$X^{\prime}$$O$を通らない円である.
(2)$X$$O$を通る円のとき,$X^{\prime}$$O$を通らない直線である.

2@@@

複素座標を用いてスチュワートの定理を示せ.スチュワートの定理の主張は次のとおりである.
:三角形$ABC$の辺$BC$に点$P$を取ったとき,$AB^2\cdot CP+AC^2\cdot BP=BC(BP\cdot CP+AP^2)$が成り立つ.

第2回

level1

1@

直交座標平面上に3点$A(m,n),B(-n,m),C(m-n,m+n) (m,n)=(0,0)$がある.
複素座標を用いて$\angle BAC=135^{\circ}$を示せ

2@

直線$az+b\overline{z}=c (a \neq0)$と原点の距離は$b$によらないことを示せ.

3@@

(1)絶対値が$r$で偏角が$\theta$である複素数$\alpha$について$Re(\alpha),Im(\alpha)$を求めよ.
 (2)(1)の結果を用いて$|ab|=|a||b|,\arg ab=\arg a+\arg b$が成り立つことを示せ.

level2

1@@@

三角形$ABC$が正三角形であるとき,$a^3+b^3+c^3=3abc$であることを示せ.

2@@@

${}_{99} \mathrm{ C }_0+{}_{99} \mathrm{ C }_4+\cdots +{}_{99} \mathrm{ C }_{96}$を計算せよ.

3@@@

4点$\displaystyle A(a),B(b),A^{\prime}\left(-\frac{1}{\overline{a}}\right),B^{\prime}\left(-\frac{1}{\overline{b}}\right)$は同一直線上に並ぶか同一円周上に並ぶことを示せ

level3

1@@@

平面上に三角形$ABC$があり,外部に点$P,Q,R,S$を四角形$ABPQ,ACRS$が正方形になるうにとる.点$A$を通り,直線$QS$に垂直な直線は辺$BC$の中点を通ることを示せ.(長岡の教科書Ⅲより)

2@@@@

平行四辺形$ABCD$があり,直線$AB$上に点$E$がある.$A,B,E$はこの順に並んでおり,$BC=BE$をみたす.$A$から直線$CE$へおろした垂線と線分$AE$の垂直二等分線の交点を$X$とするとき,4点$A,B,D,X$は同一円周上にあることを示せ.$(EGMO$一次予選$2020 4)$

第3回

level1

1@@

円に内接する六角形$ABCDEF$がある.辺$AB$と辺$DE$が平行であり,辺$BC$と辺$EF$が平行であるとき,辺$CD$と辺$FA$も平行であることを示せ.$(JJMO2011 1)$

2@@@

円に内接する五角形$A_1,A_2,A_3,A_4,A_5$があり,辺$A_3A_4,A_4A_5,A_5A_1,A_1A_2,A_2A_3$の中点をそれぞれ$M_1,M_2,M_3,M_4,M_5$とし,三角形$A_5A_1A_2,A_1A_2A_3,A_2A_3A_4,A_3A_4A_5,A_4A_5A_1$の垂心をそれぞれ$H_1,H_2,H_3,H_4,H_5$とする.このとき,五角形$M_1M_2M_3M_4M_5$と五角形$H_1H_2H_3H_4H_5$は相似であることを示せ.

3@@@@

四角形$ABCD$に点$O$を中心とする円が内接している.対角線$AC,BD$の中点をそれぞれ
$M,N$としたとき,$OM:ON=OA\cdot OC:OB\cdot OD$を示せ.($JMO2011$予選$ 11$改題)

level2

1@@@@@

鋭角三角形$ABC$において,外心を$O$,垂心を$H$とする.また,$O$を通り直線$BC$に平行な直線と辺$AB,AC$との交点をそれぞれ$P,Q$とし,線分$AH$の中点を$M$とする.このとき,$\angle BMP=\angle CMQ$を示せ.$(JJMO2016 4)$

2@@@@@

鋭角三角形$ABC$があり,その外心を$O$とする.3点$A,B,C$から対辺に下ろした垂線の足をそれぞれ$D,E,F$とし,さらに辺$BC$の中点を$M$とする.直線$AD$と直線$EF$の交点を$X$,直線$AO$と直線$BC$の交点を$Y$とし,線分$XY$の中点を$Z$とする.このとき3点$A,Z,M$が同一直線上にあることを示せ.$(JMO2017 3)$

level3

1@@@@@@

三角形$ABC$の外心を$O$,垂心を$H$とし,直線$AB,BC$上に点$D,E$を,$BC=BE=CD$を満たすようにとる.直線$BE,CD$の交点を$K$とするとき,直線$AK,OH$は直線$BC$上で交わることを示せ.$(peppers 5/7)$

2@@@@@@

$ABCD$は円$\omega$に内接する四角形であり,$P$は直線$AC$上の点であって,直線$PB$および直線$PD$$\omega$に接する.$\omega$の点$C$での接線は直線$PD$と点$Q$で交わり,$AD$と点$R$で交わる.直線$AQ$$\omega$の交点のうち$A$でない方を$E$とする.このとき,3点$B,E,R$は同一直線上にあることを示せ.$(APMO2013 5)$

3@@@@@@

鋭角三角形$ABC$がある.$A$から$BC$におろした垂線の足を$D$,$BC$の中点を$M$,三角形$ABC$の垂心を$H$とする.三角形$ABC$の外接円$\Gamma$と半直線$MH$の交点を$E$とし,直線$ED$と円$\Gamma$の交点のうち$E$でない方を$F$とする.このとき$\displaystyle\frac{BF}{CF}=\frac{AB}{AC}$が成り立つことを示せ.$(APMO2012 4)$

第4回

level1

1@

$n$を自然数としたとき次の4式が成り立つことを示せ.
$r_{\theta+\phi}=r_\theta r_\phi, r_{-\theta}=\displaystyle\frac{1}{r_\theta}, r_{n\theta}=r_\theta^n, \overline{r_\theta}=r_{-\theta}$

2@@@@

図のように2つの正五角形と1つの正方形が組み合わさっているとき,3点$A,B,C$は同一直線にあることを示せ.$(natu$の問27$)$
a a

3@@@@

三角形$ABC$$AB=AC\neq BC$をみたし,$I$をその内心とする.直線$BI$は辺$AC$$D$で交わり,$D$を通り直線$AC$に垂直な直線は直線$AI$$E$で交わる.直線$AC$に関して$I$と対称な点は三角形$BDE$の外接円上にあることを示せ.$($春合宿$2017 4)$

level2

1@@@@@

$\omega$に内接する$\triangle ABC$の内心を$I$,$\angle A$内の傍心を$J$とする.線分$AI$を直径とする円と$\omega$の交点を$P(\neq A)$,$AJ$を直径とする円と$\omega$の交点を$Q(\neq A)$とするとき,$PQ/\!/BC$を示せ.$(peppers 3/30)$

2@@@@@

正9角形$A_1A_2\cdots A_9$があり,対角線$A_1A_4,A_3A_5$の交点を$X$,対角線$A_1A_4,A_2A_7$の交点を$Y$とする.$\angle XA_9Y=20^{\circ}$を示せ.$(LAN1729$さんのツイートより$)$

level3

2@@@@@@

三角形$ABC$の外接円の点$A$を含まない方の弧$BC$上を点$P$が動く.三角形$ABP,ACP$の内心をそれぞれ$I_B,I_C$とするとき三角形$PI_BI_C$の外接円は$P$によらないある定点を通ることを示せ.$(USAJMO 1$改題$)$

第5回

level1

1@@@@

三角形$ABC$について,内接円と辺$BC.CA,AB$の接点をそれぞれ$D,E,F$とする.$D$から直線$EF$に下ろした垂線の足を$H$とし,直線$AB$$CH$の交点を$K$,直線$AC$$BH$の交点を$L$とする.このとき,$B,C,K,L$は同一直線上にあることを示せ.$(peppers 4/13)$

2@@@@@

三角形$ABC$の内部に点$T$を取り,辺$BC,CA,AB$に関して$T$を対称移動したものをそれぞれ$A_1,B_1,C_1$とする.また,三角形$A_1B_1C_1$の外接円を$\Omega$とする.直線$A_1T,B_1T,C_1T$$\Omega$と再び交わる点をそれぞれ$A_2,B_2,C_2$とする.直線$AA_2,BB_2,CC_2$$\Omega$上の一点で交わることを示せ.$(shortlist2018 G4)$

3@@@@

鋭角三角形$ABC$の垂心を$H$とし,線分$BC$の中点を$M$とする.$H$を通り直線$AM$に垂直な直線と直線$AM$との交点を$P$とするとき,$AM\cdot PM=BM^2$が成り立つことを示せ.$(JMO2011 1)$

level2

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鋭角三角形$ABC$の外心を$O$とする.辺$AB,AC$上(端点を含まない)に点$D,E$をそれぞれ直線$BC$$DE$が平行とならないようにとり,直線$BC$$DE$の交点を$F$とおく.$BD$の垂直二等分線と$CE$の垂直二等分線の交点を$K$とおき,直線$KO$$BC$の交点を$L$とおく.直線$AO$$DE$の交点を$M$とするとき,4点$F,M,L,O$が同一円周上にあることを示せ.$($春合宿$2019 8)$

2@@@@@

$\omega$を内接円に持つ三角形$ABC$がある.$A,B,C$から$BC,CA,AB$へおろした垂線と$\omega$の交点をそれぞれ$P_1$$P_2$,$P_3$$P_4$,$P_5$$P_6$とする.$i=1,2,3$に対して,$P_{2i-1},P_{2i}$での$\omega$の接線の交点を$Q_i$とする.$Q_1,Q_2,Q_3$は同一直線上にあることを示せ.$(peppers 6/2)$

3@@@@@@

どの辺の長さも相異なる鋭角三角形$ABC$がある.三角形$ABC$の重心$G$と外心$O$を辺$BC,CA,AB$に関して対称移動させた点をそれぞれ$G_1,G_2,G_3,O_1,O_2,O_3$とする.このとき,三角形$G_1G_2C,G_1G_3B,G_2G_3A,O_1O_2C,O_1O_3B,O_2O_3A,ABC$それぞれの外接円は共通の点を通ることを示せ.$(EGMO2017 6)$

level3

1@@@@@@@

三角形$ABC$の内心を$I$,内接円を$\omega$とする.また,辺$BC$の頂点を$M$とする.点$A$を通り直線$BC$に垂直な直線と,点$M$を通り直線$AI$に垂直な直線の交点を$K$とするとき,線分$AK$を直径とする円は$\omega$に接することを示せ.$(JMO2019 4)$

2@@@@@@@

三角形$ABC (AB\neq AC)$の内心を$I$とし,三角形$ABC$の内接円$\omega$は辺$BC,CA,AB$とそれぞれ点$D,E,F$で接する.点$D$を通り$EF$に垂直な直線は$\omega$と点$R(\neq D)$で交わる.また,直線$AR$$\omega$と点$P(\neq R)$で交わり,三角形$PCE,PBF$の外接円は点$Q(\neq P)$で交わる.
直線$DI,PQ$は点$A$を通り$AI$に垂直な直線上で交わることを示せ.$(shortlist2019 G7 (IMO2019 6))$

3@@@@@@@

三角形$ABC$の内心を$I$,外心を$O$とし,内接円と辺$BC,CA,AB$の接点をそれぞれ$D,E,F$とする.$O$から直線$DI,EI,FI$に下ろした垂線の足をそれぞれ$P,Q,R$とし,点$P,Q,R$に関して点$A,B,C$と対称な点をそれぞれ$A^{\prime},B^{\prime},C^{\prime}$とする.このとき,三角形$A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$の外接円は三角形$ABC$の外接円と接することを示せ.$(PPAP1 4)$

4@@@@@@@

不等辺三角形$ABC$の外接円を$\Omega$,内心を$I$とする.直線$AI$は辺$BC$$D$で交わり,$\Omega$$M$で再び交わる.線分$DM$を直径とする円は$\Omega$$K$で再び交わり,直線$MK,BC$$S$で交わる.また,線分$IS$の中点を$N$とし,三角形$KID$の外接円と三角形$MAN$の外接円は2点$L_1,L_2$で交わっているとする.$\Omega$は線分$IL_1,IL_2$の中点のどちらかを通ることを示せ.$(USAMO2017 3)$

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$AB< AC$なる三角形$ABC$において辺$BC$の中点を$M$,三角形$ABC$の外接円の点$A$を含む方の弧の中点を$D$,含む方の弧の中点を$E$とする.三角形$ABC$の内接円と辺$AB$の接点を$F$とし,$AE,BC$の交点を$G$とする.$B$を通り$AB$に垂直な直線と線分$EF$の交点を$N$とする.$BN=EM$のとき,$DF$$FG$に垂直であることを示せ.$(China Second Round 2018 2)$

ヒント

1.定義に従って変形していきましょう.
2.$a+bi$と置きましょう.
3.(2),(3)は図形の定義,性質に従いましょう.
4.実数は2つのみです.
5.定義に従いましょう.
6.$x^\prime$$x$でうまく表しましょう.
7.$P(0),B(b).C(c)$ ($b,c$は実数)と置きましょう.
8.命題3を使いましょう.
9.原点から直線に下ろした垂線の足の座標を求めましょう.
10.計算するだけです.
11.$AB=AC,\angle BAC=60^\circ$を式にしましょう.
12.二項定理の出番です.
13.$AA^\prime,BB^\prime$の交点は原点です.
14.$A(0)$としましょう.
15.$B(0)$としましょう.同一円周上は反転によって同一直線上と言い換えられます.
16.直線の式の形に注目です.
17.相似ということはその中心がわかるはずです.
18.内接円の方程式を$|z|=1$としましょう.
19.やるだけです.符号付角であることに注意.
20.やるだけです.計算が重め.
21.$D,E$の座標を$a,b,c$でうまく表しましょう.
22.$C(1),A(a),D(b)$から始めましょう.
23.直線$MH$$\Gamma$の交点で$E$でない方の座標は$-a$ですね.
24.定義に従って計算しましょう.
25.$A(0)$とします.$108^\circ$の回転因子が登場.
26.$I,J$は座標が似てますね…
27.$A(1)$とすれば登場する文字は1つだけです.
28.座標を求めて計算するだけです.
29.定点は三角形$ABC$の外接円周上にあります.
30.$K,L$の座標は必要ないですね.
31.$A(a),B(b),C(c)$ではないですよ.
32.絶対値記号を使わずにできればスマートですね.
33.$F,L,M$の座標は必要ないですね.
34.$P_1$の座標だけ出すようなことはしません.
35.三角形$ABC,O_2O_3A$の外接円の交点を出してみましょう.
36.接するということは解が1つということですね.
37.二つの外心の座標を出しましょう.
38.ひたすら計算計算計算です.
39.すごく嫌ですが実際に$L_1,L_2$の座標を出すことを目標にしましょう.
40.条件式$BN=EM$をいかにいい感じの式にするかが勝負です.

投稿日:20201230

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natu
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複素座標入門を終わらせたら何するか悩んでます

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