級数解説12

2020/12/03に 白茶 さんが出題した問題です。

https://mathlog.info/articles/1337

[解説]

$\begin{array}{rcl}& & \sum _{0<n}\frac{H_n}{n^2(n+1)}\\ & =& \sum _{0<n}\frac{1}{n^2(n+1)}\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}\\ & =& \sum _{0<k\le n}\frac{1}{k{n}^2(n+1)}\\ & =& \sum _{0<k\le n}\frac{1}{k{n}^2}-\sum _{0<k\le n}\frac{1}{k}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})\\ & =& {\zeta }^{\ast }(1,2)-\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k}\sum _{n=k}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})\\ & =& 2\zeta (3)-\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^2}\\ & =& 2\zeta (3)-\zeta (2)\end{array}$

また、

$\begin{array}{rcl}& & \sum _{0<a\le b}\frac{H_a}{(b+1{)}^3}\\ & =& \sum _{0<a<b}\frac{H_a}{b^3}\\ & =& \sum _{0<a<b}\frac{1}{b^3}\sum _{c=1}^a\frac{1}{c}\\ & =& \sum _{0<c\le a<b}\frac{1}{c{b}^3}\\ & =& \sum _{0<c<b}\frac{b-c}{c{b}^3}\\ & =& \sum _{0<c<b}\frac{1}{c{b}^2}-\sum _{0<c<b}\frac{1}{b^3}\\ & =& \zeta (1,2)-\sum _{0<b}\frac{b-1}{b^3}\\ & =& \zeta (3)-\zeta (2)+\zeta (3)\\ & =& 2\zeta (3)-\zeta (2)\end{array}$

より、

${\displaystyle \sum _{0<n}\frac{H_n}{n^2(n+1)}=\sum _{0<a\le b}\frac{H_a}{(b+1{)}^3}}$

が証明されました。