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級数解説12

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$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{d}[0]{\displaystyle} \newcommand{f}[0]{<} \newcommand{i}[1]{\int_0^{#1}} \newcommand{l}[0]{\left(} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{qed}[0]{~~~~~~~~~~\square} \newcommand{r}[0]{\right)} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{tria}[0]{\tau\rho\iota\alpha} \newcommand{v}[0]{\varnothing} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} \newcommand{z}[0]{\zeta} $$

2020/12/03に 白茶 さんが出題した問題です。

https://mathlog.info/articles/1337

$$ \displaystyle \sum_{0\f n}\frac{H_n}{n^2(n+1)}=\sum_{0\f a\le b}\frac{H_a}{(b+1)^3} $$

[解説]

$ \begin{eqnarray*} &&\sum_{0\f n}\frac{H_n}{n^2(n+1)}\\ &=&\sum_{0\f n}\frac1{n^2(n+1)}\sum_{k=1}^n\frac1k\\ &=&\sum_{0\f k\le n}\frac1{kn^2(n+1)}\\ &=&\sum_{0\f k\le n}\frac1{kn^2}-\sum_{0\f k\le n}\frac1k\l\frac1n-\frac1{n+1}\r\\ &=&\z^*(1,2)-\sum_{k=1}^\infty\frac1k\sum_{n=k}^\infty\l\frac1n-\frac1{n+1}\r\\ &=&2\z(3)-\sum_{k=1}^\infty\frac1{k^2}\\ &=&2\z(3)-\z(2) \end{eqnarray*} $

また、

$ \begin{eqnarray*} &&\sum_{0\f a\le b}\frac{H_a}{(b+1)^3}\\ &=&\sum_{0\f a\f b}\frac{H_a}{b^3}\\ &=&\sum_{0\f a\f b}\frac1{b^3}\sum_{c=1}^a\frac1c\\ &=&\sum_{0\f c\le a\f b}\frac1{cb^3}\\ &=&\sum_{0\f c\f b}\frac{b-c}{cb^3}\\ &=&\sum_{0\f c\f b}\frac1{cb^2}-\sum_{0\f c\f b}\frac1{b^3}\\ &=&\z(1,2)-\sum_{0\f b}\frac{b-1}{b^3}\\ &=&\z(3)-\z(2)+\z(3)\\ &=&2\z(3)-\z(2) \end{eqnarray*} $

より、

$\d\sum_{0\f n}\frac{H_n}{n^2(n+1)}=\sum_{0\f a\le b}\frac{H_a}{(b+1)^3} $

が証明されました。

投稿日:20201230

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投稿者

神鳥奈紗
神鳥奈紗
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遭難者です.高専1年です.MZV,級数,積分をメインにやっています.

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