級数解説12
2020/12/03に 白茶 さんが出題した問題です。
https://mathlog.info/articles/1337
$$ \displaystyle \sum_{0\f n}\frac{H_n}{n^2(n+1)}=\sum_{0\f a\le b}\frac{H_a}{(b+1)^3} $$
[解説]
$ \begin{eqnarray*} &&\sum_{0\f n}\frac{H_n}{n^2(n+1)}\\ &=&\sum_{0\f n}\frac1{n^2(n+1)}\sum_{k=1}^n\frac1k\\ &=&\sum_{0\f k\le n}\frac1{kn^2(n+1)}\\ &=&\sum_{0\f k\le n}\frac1{kn^2}-\sum_{0\f k\le n}\frac1k\l\frac1n-\frac1{n+1}\r\\ &=&\z^*(1,2)-\sum_{k=1}^\infty\frac1k\sum_{n=k}^\infty\l\frac1n-\frac1{n+1}\r\\ &=&2\z(3)-\sum_{k=1}^\infty\frac1{k^2}\\ &=&2\z(3)-\z(2) \end{eqnarray*} $
また、
$ \begin{eqnarray*} &&\sum_{0\f a\le b}\frac{H_a}{(b+1)^3}\\ &=&\sum_{0\f a\f b}\frac{H_a}{b^3}\\ &=&\sum_{0\f a\f b}\frac1{b^3}\sum_{c=1}^a\frac1c\\ &=&\sum_{0\f c\le a\f b}\frac1{cb^3}\\ &=&\sum_{0\f c\f b}\frac{b-c}{cb^3}\\ &=&\sum_{0\f c\f b}\frac1{cb^2}-\sum_{0\f c\f b}\frac1{b^3}\\ &=&\z(1,2)-\sum_{0\f b}\frac{b-1}{b^3}\\ &=&\z(3)-\z(2)+\z(3)\\ &=&2\z(3)-\z(2) \end{eqnarray*} $
より、
$\d\sum_{0\f n}\frac{H_n}{n^2(n+1)}=\sum_{0\f a\le b}\frac{H_a}{(b+1)^3} $
が証明されました。