記事作成テスト(ある関数の性質)

以下、$a,b,n,k$は1以上の整数とする。

この記事では、
$$\begin{gathered} H(a,b,1)=a^b \\ H(a,1,n)=a \\ H(a,b+1,n+1)=H(a,H(a,b,n+1),n) \end{gathered}$$
としたとき、
$$H(3,3,3)>6$$
を示します。

(補題1) $a\ge 2$ ならば $H(a,b,1)\ge b$
(証明1) $b$についての数学的帰納法による
$b=1$のときは$H(a,1,1)=a\ge 2>1$より成立
$b=k$のとき成り立つと仮定して$b=k+1$のとき
$H(a,k+1,1)=H(a,k,1)\cdot a\ge k\cdot a\ge k+k\ge k+1=b$
以上より成立

(補題2) $H(a,b+1,2)\ge H(a,b,2)$
(証明2) $H(a,b+1,2)=H(a,H(a,b,2),1)\ge H(a,b,2)$

(補題3) $a\ge 2$ ならば $H(a,b,2)\ge b$
(証明3) $b$についての数学的帰納法による
$b=1$のときは$H(a,1,2)=a\ge 2>1$より成立
$b=k$のとき成り立つと仮定して$b=k+1$のとき
$H(a,k+1,2)=H(a,H(a,k,2),1)\ge H(a,k,2)$
以上より成立

(補題4) $H(a,b+1,3)\ge H(a,b,3)$
(証明4) $H(a,b+1,3)=H(a,H(a,b,3),2)\ge H(a,b,3)$

したがって
$$\begin{gathered} H(3,3,3)\ge H(3,2,3)=H(3,H(3,1,3),2)=H(3,3,2) \\ \ge H(3,2,2)=H(3,H(3,1,2),1)=H(3,3,1)=3^3=27>6 \end{gathered}$$

が成り立つ。