以下、$a,b,n,k$は1以上の整数とする。
この記事では、
$$ H(a,b,1)=a^b \\ H(a,1,n)=a \\ H(a,b+1,n+1)=H(a,H(a,b,n+1),n) $$
としたとき、
$$ H(3,3,3) > 6 $$
を示します。
(補題1) $ a \geq 2 $ ならば $ H(a,b,1) \geq b$
(証明1) $b$についての数学的帰納法による
$ b=1 $のときは$ H(a,1,1) = a \geq 2 > 1 $より成立
$ b=k $のとき成り立つと仮定して$ b=k+1 $のとき
$ H(a,k+1,1) = H(a,k,1) \cdot a \geq k \cdot a \geq k + k \geq k + 1 = b $
以上より成立
(補題2) $ H(a,b+1,2) \geq H(a,b,2)$
(証明2) $ H(a,b+1,2) = H(a,H(a,b,2),1) \geq H(a,b,2) $
(補題3) $ a \geq 2 $ ならば $ H(a,b,2) \geq b$
(証明3) $b$についての数学的帰納法による
$ b=1 $のときは$ H(a,1,2) = a \geq 2 > 1 $より成立
$ b=k $のとき成り立つと仮定して$ b=k+1 $のとき
$ H(a,k+1,2) = H(a,H(a,k,2),1) \geq H(a,k,2) $
以上より成立
(補題4) $ H(a,b+1,3) \geq H(a,b,3)$
(証明4) $ H(a,b+1,3) = H(a,H(a,b,3),2) \geq H(a,b,3) $
したがって
$ H(3,3,3) \geq H(3,2,3) = H(3,H(3,1,3),2) = H(3,3,2) \\ \geq H(3,2,2) = H(3,H(3,1,2),1) = H(3,3,1) = 3^3 = 27 > 6$
が成り立つ。