級数の問題1　解説

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$$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{(n+1)!}\\ =\sum_{n=1}^{\infty}n\left(\frac{1}{n!}-\frac{1}{(n+1)!}\right)\\ =1\left(\frac{1}{1!}-\frac{1}{2!}\right)+2\left(\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}\right)+3\left(\frac{1}{3!}-\frac{1}{4!}\right)+\cdots\\ =\frac{1}{1!}+\frac{-1+2}{2!}+\frac{-2+3}{3!}+\cdots\\ =\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots\\ =e-1 $$