級数の問題1　解説

問題の記事は こちら です。

$$\begin{gathered} \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n^2}{(n+1)!} \\ =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}n(\frac{1}{n!}-\frac{1}{(n+1)!}) \\ =1(\frac{1}{1!}-\frac{1}{2!})+2(\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!})+3(\frac{1}{3!}-\frac{1}{4!})+\cdots \\ =\frac{1}{1!}+\frac{-1+2}{2!}+\frac{-2+3}{3!}+\cdots \\ =\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots \\ =e-1 \end{gathered}$$