級数解説13
2020/08/26に るめなる 君が出題した問題です。
https://twitter.com/eturty12/status/1298590979885170690?s=21
$$ \displaystyle \i1\text{Li}_2(x(1-x))dx $$
[解説]
$ \begin{eqnarray*} &&\i1\text{Li}_2(x(1-x))dx\\ &=&\i1\sum_{n=1}^\infty\frac{x^n(1-x)^n}{n^2}dx\\ &=&\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}\i1x^n(1-x)^ndx\\ &=&\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}B(n+1,n+1)\\ &=&\sum_{n=1}^\infty\frac{\Gamma^2(n+1)}{n^2\Gamma(2n+2)}\\ &=&\sum_{n=1}^\infty\frac{n!^2}{n^2(2n+1)(2n)!}\\ &=&\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2\binom{2n}n}\i1x^{2n}dx\\ &=&\i1\sum_{n=1}^\infty\frac{x^{2n}}{n^2\binom{2n}n}dx\\ &=&2\i1\arcsin^2\frac x2dx\\ &=&4\i{\frac12}\arcsin^2xdx\\ &=&4\i{\frac\pi6}x^2\cos xdx\\ &=&4\left[(x^2-2)\sin x+2x\cos x \right]_0^{\frac\pi6}\\ &=&\frac{\pi^2}{18}+\frac{2\pi}{\sqrt3}-4 \end{eqnarray*} $
よって、この問題の解答は$\d\frac{\pi^2}{18}+\frac{2\pi}{\sqrt3}-4$となります。