級数解説14
2020/12/31に PCT 君がツイートした級数です。
https://twitter.com/pctprobability/status/1344534262121316352?s=21
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\sum_{k=0}^\infty\sum_{n=1}^\infty\l\frac1{4(2k+1)^2} \r^n=\frac\pi8
$$
$$
\sum_{n=0}^\infty\l64n^2+64n+19\r\sum_{m=1}^\infty\l\frac1{4096(n^2+n)^2+1048(n^2+n)+106} \r^m=\frac\pi{16}
$$
[解説]
$ \begin{eqnarray*} &&\sum_{k=0}^\infty\sum_{n=1}^\infty\l\frac1{4(2k+1)^2} \r^n\\ &=&\sum_{k=0}^\infty\frac1{4(2k+1)^2-1}\\ &=&\frac12\sum_{k=0}^\infty\l\frac1{4k+1}-\frac1{4k+3} \r\\ &=&\frac12\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{2k+1}\\ &=&\frac12\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\i1x^{2k}dx\\ &=&\frac12\i1\frac1{1+x^2}dx\\ &=&\frac\pi8\qed \end{eqnarray*} $
また、
$ \begin{eqnarray*} &&\sum_{n=0}^\infty\l64n^2+64n+19\r\sum_{m=1}^\infty\l\frac1{4096(n^2+n)^2+1048(n^2+n)+106} \r^m\\ &=&\sum_{n=0}^\infty\frac{64n^2+64n+19}{4096(n^2+n)^2+1048(n^2+n)+105}\\ &=&\frac14\sum_{n=0}^\infty\l\frac1{8n+1}-\frac1{8n+3}+\frac1{8n+5}-\frac1{8n+7} \r\\ &=&\frac14\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{2n+1}\\ &=&\frac\pi{16}\qed \end{eqnarray*} $
以上より、この2つの級数が証明されました。