素数が無数に存在することの証明：サイダック

目的

素数が無数に存在することのサイダックによる証明

証明

$n$を$2$以上の整数とする。
$$ n_1:=n(n+1) $$と定義すると、連続する$2$つの整数は互いに素なので$n_1$は相異なる素因数を少なくとも$2$つもつ。つぎに
$$ n_2:=n_1 (n_1+1) $$と定義すると

• $n_1$は少なくとも相異なる素因数を$2$つ持つ
• $n_1$と$n_1+1$とは互いに素

なので、$n_2$は相異なる素因数を少なくとも$3$つ持つ。この操作は無限に繰り返すことができるので素数は無数に存在する。

参考文献

素数が無数に存在することの証明#サイダック