MZVが含まれる級数について

問題
正整数列 $a_1,a_2,...,a_n$ に対して以下を満たす関数 $f$ を定義します。

• $f(1)= \frac{1}{2} $

• $a_n \geqq 2$ の時 $f(a_1,a_2,...,a_n)= \displaystyle \sum_{1 < k_1 < k_2 < ... < k_n}^{} \frac{1}{ \displaystyle \prod_{i=1}^n k_i^{a_i} } -f(a_1,a_2,...,a_n-1)$

• $a_n=1$ かつ $n \geqq 2$ の時 $f(a_1,a_2,...,a_n)=f(a_1,a_2,...,a_{n-1})$

$\displaystyle \sum_{weight(k)=n}^{} {f(k)} $ をリーマンゼータ関数で表してください。

解説
まず $f$ の関数は以下のようになります。
$f(a_1,a_2,...a_n)= \displaystyle \sum_{1 < k_1 < k_2 < ... < k_n}^{} \frac{1}{(k_n+1) \displaystyle \prod_{i=1}^n k_i^{a_i} } $
この関数が $3$ 個の性質を満たすことを確かめます。
$f(1)= \displaystyle \sum_{1 < k_1}^{} \frac{1}{(k_n+1) k_1 } = \frac{1}{2} $
は部分分数分解より確認できます。

$f(a_1,a_2,...a_n)= \displaystyle \sum_{1 < k_1 < k_2 < ... < k_n}^{} \frac{1}{(k_n+1) \displaystyle \prod_{i=1}^n k_i^{a_i} } $

$ \displaystyle \sum_{1 < k_1 < k_2 < ... < k_n}^{} \frac{1}{ \displaystyle \prod_{i=1}^n k_i^{a_i} }=\displaystyle \sum_{1 < k_1 < k_2 < ... < k_n}^{} \frac{k_n+1}{(k_n+1) \displaystyle \prod_{i=1}^n k_i^{a_i} }$

$f(a_1,a_2,...a_n-1)= \displaystyle \sum_{1 < k_1 < k_2 < ... < k_n}^{} \frac{k_n}{(k_n+1) \displaystyle \prod_{i=1}^n k_i^{a_i} } $

と分母を揃えることにより両辺とも$ \displaystyle \sum_{1 < k_1 < k_2 < ... < k_n}^{} \frac{1}{(k_n+1) \displaystyle \prod_{i=1}^n k_i^{a_i} } $ となることが分かります。

$f(a_1,a_2,...,a_n(=1))= \displaystyle \sum_{1 < k_1 < k_2 < ... < k_n}^{} \frac{1}{(k_n+1) \displaystyle \prod_{i=1}^n k_i^{a_i} } $
$= \displaystyle \sum_{1 < k_1 < k_2 < ... < k_{n-1}}^{} \frac{1}{\displaystyle \prod_{i=1}^{n-1} k_i^{a_i} }\displaystyle \sum_{k_{n-1} < k_n}^{} \frac{1}{k_n(k_n+1) }$
$= \displaystyle \sum_{1 < k_1 < k_2 < ... < k_{n-1}}^{} \frac{1}{\displaystyle \prod_{i=1}^{n-1} k_i^{a_i} }×(k_{n-1}+1)$
$=f(a_1,a_2,...,a_{n-1})$

より上記の式が全ての条件を満たすことが証明出来ました。
次に $weight N$ のインデックスの合計ですがこれは次のような式になることが分かります。
$ \displaystyle \sum_{weight(k)=N}^{} {f(k)}=\displaystyle \sum_{2 \leqq k_1 \leqq k_2 \leqq ... \leqq k_n}^{} \frac{1}{(k_n+1) \displaystyle \prod_{i=1}^n k_i } $
$=\displaystyle \sum_{2 \leqq k_1 \leqq k_2 \leqq ... \leqq k_{n-1}}^{} \frac{1}{ \left(\displaystyle \prod_{i=1}^{n-2} k_i \right)×k_{n-1}^2}・・・①$

ここで以下の補題を証明します。

証明
$ζ^*(${$1$}$^{n-1},2)=\displaystyle \sum_{weight(k)=n+1}^{} {ζ(k)}$
$=\displaystyle \sum_{i=1}^{n} {\displaystyle \sum_{weight(k)=n+1,depth(k)=i}^{} {ζ(k)}}$
$=\displaystyle \sum_{i=1}^{n} {ζ(n+1)}$
$=nζ(n+1)$
より示された。

①の式の不等式の範囲は $2$ 以上なので
$\displaystyle \sum_{2 \leqq k_1 \leqq k_2 \leqq ... \leqq k_{n-1}}^{} \frac{1}{ \left(\displaystyle \prod_{i=1}^{n-2} k_i \right)×k_{n-1}^2}$
$=\displaystyle \sum_{1 \leqq k_1 \leqq k_2 \leqq ... \leqq k_{n-1}}^{} \frac{1}{ \left(\displaystyle \prod_{i=1}^{n-2} k_i \right)×k_{n-1}^2}-\displaystyle \sum_{1 = k_1 \leqq k_2 \leqq ... \leqq k_{n-1}}^{} \frac{1}{ \left(\displaystyle \prod_{i=1}^{n-2} k_i \right)×k_{n-1}^2}$
$=ζ^*(${$1$}$^{n-2},2)-ζ^*(${$1$}$^{n-3},2)$
$=(n-1)ζ(n)-(n-2)ζ(n-1)$

より$\displaystyle \sum_{weight(k)=n}^{} {f(k)}=(n-1)ζ(n)-(n-2)ζ(n-1)$ □