大学数学基礎解説

青春キカ野郎はメネラウスの定理の夢を見ない

初等幾何,青ブタ

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私の名前はpepper。コカ・コーラ社の清涼飲料水に、softbankの人型ロボット。君の名前は？

さて、今回はメネラウスの定理の多次元への一般化について書きます。はじめに、メネラウスの定理というのはこんなやつです。

メネラウスの定理

任意の三角形 $A B C$ と直線 $g$ について、直線 $B C, C A, A B$ が $g$ とそれぞれ $P, Q, R$ で交わっているとき

$\begin{array}{r} \frac{B P}{P C} \cdot \frac{C Q}{Q A} \cdot \frac{A R}{R B} = 1 \end{array}$

が成立する。

メネラウスの定理の証明は、面積を追えばすぐです。

$\begin{array}{r} \frac{B P}{P C} \cdot \frac{C Q}{Q A} \cdot \frac{A R}{R B} = \frac{△ B P R}{△ C P R} \cdot \frac{△ C P R}{△ A P R} \cdot \frac{△ A P R}{△ B P R} = 1 \end{array}$

これでわからない人も、図を描いて追えばすぐ分かると思います。

さて、この記事の本題はここからです。今回紹介するのは、次のような定理です。

一般化メネラウスの定理

$n$ を $2$ 以上の整数とする。 $n$ 次元空間内のある $n + 1$ 個の点 $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n + 1}$ の内、どの $i + 1 (1 \leq i \leq n)$ 個の点も全てが同じ $i$ 次元以下の部分空間に含まれることはないとする。このとき、 $n - 1$ 次元空間 $T$ と直線 $A_{1} A_{2}, A_{2} A_{3}, \dots, A_{n + 1} A_{1}$ の交点を $P_{1}, P_{2}, \dots, P_{n + 1}$ とすれば、

$\begin{array}{r} \frac{A_{1} P_{1}}{P_{1} A_{2}} \cdot \frac{A_{2} P_{2}}{P_{2} A_{3}} \cdot \dots \cdot \frac{A_{n + 1} P_{n + 1}}{P_{n + 1} A_{1}} = 1 \end{array}$

が成立する。

場合分けが面倒なので、射影平面で議論していこうと思います。

$n = 2$ のとき、これはメネラウスの定理そのものである。

ある $2$ 以上の整数 $k$ が存在して $n = k$ で成立すると仮定し $n = k + 1$ の場合を考える。

直線 $A_{1} A_{k}$ と $T$ の交点を $Q$ とする。このとき、仮定とメネラウスの定理より

$\begin{array}{r} \frac{A_{1} P_{1}}{P_{1} A_{2}} \cdot \frac{A_{2} P_{2}}{P_{2} A_{3}} \cdot \dots \cdot \frac{A_{k - 1} P_{k - 1}}{P_{k - 1} A_{k}} \cdot \frac{A_{k} Q}{Q A_{1}} = 1, \frac{A_{1} Q}{Q A_{k}} \cdot \frac{A_{k} P_{k}}{P_{k} A_{k + 1}} \cdot \frac{A_{k + 1} P_{k + 1}}{P_{k + 1} A_{k + 1}} = 1 \end{array}$