分母の有理化

みなさんは分母の有理化をしたことはありますか？
分母の有理化とは${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}}$のように分母に根号を含む式を分母が有理数となるように変形することです。

根号のみで構成された式なら分母の有理化ができますが、それは今回のメインではないので詳しくは書きません。

今回は具体的な式の有理化を考えてみましょう。

まず、${\displaystyle \frac{1}{a+b\sqrt{n}}}$の有理化を考えます。
これは簡単ですね。
${\displaystyle \frac{1}{a+b\sqrt{n}}=\frac{a-b\sqrt{n}}{a^2-b^{2}n}}$
$$
$$
次に、${\displaystyle \frac{1}{a+b\sqrt[3]{n}+c\sqrt[3]{n^2}}}$の有理化を考えます。
${\displaystyle \frac{1}{a+b\sqrt[3]{n}+c\sqrt[3]{n^2}}=p+q\sqrt[3]{n}+r\sqrt[3]{n^2}}$
となったとします。
すると、$(a+b\sqrt[3]{n}+c\sqrt[3]{n^2})(p+q\sqrt[3]{n}+r\sqrt[3]{n^2})=1$が成り立つので、両辺の$1,\sqrt[3]{n},\sqrt[3]{n^2}$の係数を比較して
${\displaystyle \{\begin{array}{c}ap+ncq+nbr=1\\ bp+aq+ncr=0\\ cp+bq+ar=0\end{array}}$
となります。
行列で表してみましょう。
${\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}a& nc& nb\\ b& a& nc\\ c& b& a\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}p\\ q\\ r\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)}$
これを使うと$$\begin{gathered} {\displaystyle \left(\begin{array}{c}p\\ q\\ r\end{array}\right)={\left(\begin{array}{ccc}a& nc& nb\\ b& a& nc\\ c& b& a\end{array}\right)}^{-1}\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)} \\ {\displaystyle =\frac{1}{a^3+n{b}^3+n^2{c}^3-3nabc}\left(\begin{array}{c}{a}^2-nbc\\ n{b}^2-nca\\ n^2{c}^2-nab\end{array}\right)} \end{gathered}$$
と求められます。
(有名恒等式$x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$を使ってもいいのですが4次以上のときも使えるのでこの方法にしました)
$$
$$
次は、${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}}$の有理化を考えます。
これは$c$について有理化→$b$について有理化→$a$について有理化とすれば有理化できます。
$$\begin{gathered} {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c}}{a+b-c+2\sqrt{ab}}} \\ {\displaystyle =\frac{(a-b-c)\sqrt{a}+(b-c-a)\sqrt{b}+(c-a-b)\sqrt{c}-2\sqrt{abc}}{a^2+b^2+c^2-2ab-2bc-2ca}} \end{gathered}$$
どうでもいいかもしれませんが分母はヘロンの公式を展開した形になっていますね。
同じ方法で${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d}}}$も有理化ができます。
$$\begin{gathered} {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d}}} \\ {\displaystyle =\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}-\sqrt{d}}{a+b+c-d+2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ca}}} \\ {\displaystyle =\frac{(a+3b-c-d)\sqrt{a}+(3a+b-c-d)\sqrt{b}+(-a-b+c-d)\sqrt{c}+(-a-b-c+d)\sqrt{d}-2\sqrt{abc}-2\sqrt{abd}+2\sqrt{acd}+2\sqrt{bcd}}{a^2+b^2+c^2+d^2+4ab-2ac-2bc-2ad-2bd-2cd+4(a+b-c-d)\sqrt{ab}}} \\ {\displaystyle =\frac{(a^3-b^3-c^3-d^3-a^{2}b-a^{2}c-a^{2}d+3a{b}^2+3a{c}^2+3a{d}^2+b^{2}c+b{c}^2+b^{2}d+b{d}^2+c^{2}d+c{d}^2+2abc+2abd+2acd-10bcd)\sqrt{a}+(-a^3+b^3-c^3-d^3-a{b}^2-b^{2}c-b^{2}d+3a^{2}b+3b{c}^2+3b{d}^2+a^{2}c+a{c}^2+a^{2}d+a{d}^2+c^{2}d+c{d}^2+2abc+2abd-10acd+2bcd)\sqrt{b}+(-a^3-b^3+c^3-d^3-a{c}^2-b{c}^2-c^{2}d+3a^{2}c+3b^{2}c+3c{d}^2+a^{2}b+a{b}^2+a^{2}d+a{d}^2+b^{2}d+b{d}^2+2abc-10abd+2acd+2bcd)\sqrt{c}+(-a^3-b^3-c^3+d^3-a{d}^2-b{d}^2-c{d}^2+3a^{2}d+3b^{2}d+3c^{2}d+a^{2}b+a{b}^2+a^{2}c+a{c}^2+b^{2}c+b{c}^2-10abc+2abd+2acd+2bcd)\sqrt{d}+2(-3a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2ac+2ad-2bc-2bd-2cd)\sqrt{bcd}+2(a^2-3b^2+c^2+d^2+2ab+2bc+2bd-2ac-2ad-2cd)\sqrt{acd}+2(a^2+b^2-3c^2+d^2+2ac+2bc+2cd-2ab-2ad-2bd)\sqrt{abd}+2(a^2+b^2+c^2-3d^2+2ad+2bd+2cd-2ab-2ac-2bc)\sqrt{abc}}{a^4+b^4+c^4+d^4-4(a^{3}b+a{b}^3+a^{3}c+a{c}^3+b^{3}c+b{c}^3+a^{3}d+a{d}^3+b^{3}d+b{d}^3+c^{3}d+c{d}^3)+6(a^2{b}^2+a^2{c}^2+b^2{c}^2+a^2{d}^2+b^2{d}^2+c^2{d}^2)+4(a^{2}bc+a^{2}bd+a^{2}cd+a{b}^{2}c+a{b}^{2}d+b^{2}cd+ab{c}^2+a{c}^{2}d+b{c}^{2}d+ab{d}^2+ac{d}^2+bc{d}^2)-40abcd}} \end{gathered}$$
特に意味はないです。
$$
$$
次に${\displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}}}$の有理化を考えてみます。
$$\begin{gathered} {\displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}}=\frac{\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2}+\sqrt[3]{c^2}-\sqrt[3]{ab}-\sqrt[3]{bc}-\sqrt[3]{ca}}{a+b+c-3\sqrt[3]{abc}}} \\ {\displaystyle =\frac{(a^2+b^2+c^2+2ab-7bc+2ca)\sqrt{a^2}+(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc-7ca)\sqrt{b^2}+(a^2+b^2+c^2-7ab+2bc+2ca)\sqrt{c^2}+3(-a-b+2c)\sqrt[3]{a^2{b}^{2}c}+3(-a+2b-c)\sqrt[3]{a^{2}b{c}^2}+3(2a-b-c)\sqrt[3]{a{b}^2{c}^2}}{a^3+b^3+c^3+3a^{2}b+3a{b}^2+3b^{2}c+3b{c}^2+3c^{2}a+3c{a}^2-21abc}} \end{gathered}$$
対称式を計算すると心が落ち着きますね。