双複素多項式の零点の構造　その2

双複素解析入門　第11回

前回でRinglebの定理を紹介できたので，今回から零点の構造について再び考察します．3回前の話なので少し思い出しておきましょう．双複素多項式は
$$Z^2-Z=Z(Z-1)=(Z-e)(Z-e^{†})$$
のように，因数分解の一意性が成り立ちませんでした．成り立たないからそれで何もできないか，と言われたらそうではありません．あがきます．これが数学の研究です．因数分解の一意性は成り立ちそうにありませんが，因数定理であれば成り立ちます．Ringlebの定理により双複素正則関数は2つの複素正則関数で表せるので，その2つの複素正則関数に複素関数における因数定理を適用してやれば，なんとか手は動きそうです．

さて，因数定理を証明しようと思いますが，ちょっと待ってください．双複素数は零因子を持つ環です．零因子を込めて議論を進めなければなりません．なので，まずは零点の定義を拡張することにします．

いつも通り関数の値が消えるような点のことを強零点といい，関数の値が零因子となるような点のことを弱零点と呼ぼう，ということです．

まず$Z=0,1,e,e^{†}$は$F(Z)$の強零点になります．では，弱零点はどこにあるでしょうか．Ringlebの定理より，
$$F(Z)=({Z_e}^2-Z_e)e+({Z_{e^{†}}}^2-Z_{e^{†}})e^{†}$$
となります．零因子というのは，次のような集合で表されたことを思い出しましょう．
$${\mathfrak{S}}_0=\{Z=Z_{e}e+Z_{e^{†}}{e}^{†}\in \mathbb{BC}|Z_e{Z}_{e^{†}}=0\}.$$
よって，今回の$F$で言えば，例えば$Z_{e^{†}}=0$となるような任意の双複素数$Z=\alpha e(\alpha \in \mathbb{C})$は$F(Z)$の弱零点となります．実際，
$$\begin{array}{rl}F(\alpha e)& ={\alpha }^2{e}^2-\alpha e\\ & =({\alpha }^2-\alpha )e\in {\mathfrak{S}}_0\end{array}$$
となります．そうなのです．弱零点は，そもそも"点"ではないのです．$\alpha e$が張る集合は$\mathbb{C}$と同型なので，これにより関数の特異点の解析が格段に難しくなります(自分も何もわかっていません)．もちろん$Z=\beta e^{†}\in \mathbb{BC}(\beta \in \mathbb{C})$も$F$の弱零点になります．ほかにも，$Z=e+\gamma e^{†},\delta e+e^{†}\in \mathbb{BC}(\gamma ,\delta \in \mathbb{C})$も$F$の弱零点になります．

それでは今回はここまでにします．次回は因数定理について考察をします．ありがとうございました．