双複素多項式の零点の構造　その2

双複素解析入門　第11回

前回でRinglebの定理を紹介できたので，今回から零点の構造について再び考察します．3回前の話なので少し思い出しておきましょう．双複素多項式は
$$Z^2-Z=Z(Z-1)=(Z-e)(Z-e^{\dagger})$$
のように，因数分解の一意性が成り立ちませんでした．成り立たないからそれで何もできないか，と言われたらそうではありません．あがきます．これが数学の研究です．因数分解の一意性は成り立ちそうにありませんが，因数定理であれば成り立ちます．Ringlebの定理により双複素正則関数は2つの複素正則関数で表せるので，その2つの複素正則関数に複素関数における因数定理を適用してやれば，なんとか手は動きそうです．

さて，因数定理を証明しようと思いますが，ちょっと待ってください．双複素数は零因子を持つ環です．零因子を込めて議論を進めなければなりません．なので，まずは零点の定義を拡張することにします．

いつも通り関数の値が消えるような点のことを強零点といい，関数の値が零因子となるような点のことを弱零点と呼ぼう，ということです．

まず$Z=0,1,e,e^{\dagger}$は$F(Z)$の強零点になります．では，弱零点はどこにあるでしょうか．Ringlebの定理より，
$$F(Z)=({Z_{e}}^2-Z_{e})e+({Z_{e^{\dagger}}}^2-Z_{e^{\dagger}})e^{\dagger}$$
となります．零因子というのは，次のような集合で表されたことを思い出しましょう．
$$\mathfrak{S}_{0}=\{Z=Z_{e}e+Z_{e^{\dagger}}e^{\dagger}\in \mathbb{BC}\ |\ Z_{e}Z_{e^{\dagger}}=0\}.$$
よって，今回の$F$で言えば，例えば$Z_{e^{\dagger}}=0$となるような任意の双複素数$Z=\alpha e\ (\alpha \in \mathbb{C})$は$F(Z)$の弱零点となります．実際，
\begin{align*} F(\alpha e)&=\alpha ^2 {e}^{2}-\alpha e\\ &=(\alpha ^2-\alpha )e \in \mathfrak{S}_{0} \end{align*}
となります．そうなのです．弱零点は，そもそも"点"ではないのです．$\alpha e$が張る集合は$\mathbb{C}$と同型なので，これにより関数の特異点の解析が格段に難しくなります(自分も何もわかっていません)．もちろん$Z=\beta e^{\dagger} \in \mathbb{BC}\ (\beta \in \mathbb{C})$も$F$の弱零点になります．ほかにも，$Z=e+\gamma e^{\dagger},\delta e+e^{\dagger} \in \mathbb{BC}\ (\gamma,\delta \in \mathbb{C})$も$F$の弱零点になります．

それでは今回はここまでにします．次回は因数定理について考察をします．ありがとうございました．