【層理論第2回】層のアーベル圏と層の完全列

ホモロジー代数,層理論

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はじめに

こんにちは！層理論の第2回目です．今回は第1回で定義した層の圏$\Sh(X)$についてもう少し詳しく見ていきます．

前回のおさらいと補足

前回の復習

前回は前層・層の定義をしたのでした．それを軽く思い出しましょう．
以下，最後まで$X$を位相空間とします．前層とは位相空間の開集合からなる圏$\mathcal T_X$から$Ab$への反変函手のことでした．前層$F$と$x \in X$に対して$F_x=\varinjlim_{x \in U}F(U)$と書いて$x$における茎と言いました．層とは前層$F$であって次の貼り合わせ条件を満たすものでした：
（貼り合わせ条件）任意の$X$の開集合$U$と任意の$U$の開被覆$\{U_i\}_{i \in I}$に対して，$s_i \in F(U_i) \ (i \in I)$が与えられ任意の$i,j \in I$に対して$s_i|_{U_i \cap U_j}=s_j|_{U_i \cap U_j}$を満たすならば，$s \in F(U)$が一意的に存在して任意の$i \in I$に対して$s|_{U_i}=s_i$を満たす．
前層の射・層の射は制限写像と両立する写像の族として定義されました．こうして前層の圏$\PSh(X)$と層の圏$\Sh(X)$を定義しました．そして前層$F$に対して「$F$に一番近い層」を対応させる層化という操作があることを見ました．できた層を$F^+$と書くことにしたのでした．

層の射についてもう少し

層の射についてもう少し調べておきます．今後は$F$が$X$上の層であることを$F \in \Sh(X)$と書いてしまいます．

層の同形は茎の同形

$F,G \in \Sh(X)$と層の射$\varphi \colon F \to G$について，$\varphi$は同形$\Leftrightarrow$任意の$x \in X$に対して$\varphi_x \colon F_x \to G_x$は同形．

層の射$\varphi \colon F \to G$が同形とは任意の開集合$U$に対して$\varphi_U \colon F(U) \to G(U)$が同形であることである．
$\Rightarrow$: 任意の$U$に対して$0 \to F(U) \xrightarrow{\varphi_U} G(U) \to 0$は完全で帰納極限は完全性を保つので任意の$x \in X$に対して$0 \to F_x \xrightarrow{\varphi_x} G_x \to 0$は完全である．したがって，$\varphi_x$は同形．
$\Leftarrow$: 任意の$U$を取り$\varphi_U$が同形であることを示す．
まず単射性を示す．$s \in F(U)$が$\varphi_U(s)=0$を満たしたとすると，任意の$x \in U$に対して$\varphi_x(s_x)=\varphi_U(s)_x=0$で$\varphi_x$は単射だから$s_x=0$．ゆえに第1回の補題1より$s=0$である．
次に全射性を示す．任意の$t \in G(U)$を取る．任意の$x \in X$に対して$\varphi_x$は全射だから$t_x=\varphi_x(s_x)$と書けて，$s_x$はある$U$内の$x$の開近傍$U_x$と$s_{U_x} \in F(U_x)$を使って$s_x=(s_{U_x})_x$となる．すると$t_x=\varphi_x(s_x)=\varphi_{U_x}(s_{U_x})_x$となるので，ある$U_x$内の$x$の開近傍$V_x$が存在して$t|_{V_x}=\varphi_{V_x}(s_{U_x}|_{V_x})$となる．記号を簡単にするため$s_{V_x}:=s_{U_x}|_{V_x}$とおきなおそう．すると，任意の$x,y$に対して
$$ \varphi_{V_x \cap V_y}(s_{V_x}|_{V_x \cap V_y}) = \varphi_{V_x}(s_{V_x})|_{V_x \cap V_y} = t|_{V_x \cap V_y} = \varphi_{V_x \cap V_y}(s_{V_y}|_{V_x \cap V_y}) $$
であり，前半で示したことから$\varphi_{V_x \cap V_y}$は単射だから$s_{V_x}|_{V_x \cap V_y}=s_{V_y}|_{V_x \cap V_y}$である．$\{V_x\}_x$は$U$の開被覆で$F$は層であるから，ある$s \in F(U)$が存在して$x \in U$に対して$s|_{V_x}=s_{V_x}$となる．すると，任意の$x \in U$に対して$\varphi_U(s)|_{V_x}=\varphi_{V_x}(s|_{V_x})=\varphi_{V_x}(s_{V_x})=t|_{V_x}$であり$G$は層だから$\varphi_U(s)=t$を得る．

層化のもっとマシな証明

上の命題を先に得ておけば層化の証明を次のように第1回のものより少しだけスマートにできる．
一般に，前層の射$\varphi \colon F \to G$に対して$[\varphi] \colon [F] \to [G]$が誘導され，これは$\varphi^+ \colon F^+ \to G^+$に落ちていることが分かる．$\theta^G \colon G \to G^+$は全ての茎で同形になることが示されているので，$G$が層ならば上の命題より$\theta^G$は同形である．この同形の逆射を合成して$\tl \varphi \colon F^+ \to G$が得られる．
二度も同じような証明をする必要はないのだが，どこに層の貼り合わせ条件が使われているかよく分かるように前回も今回もくどい証明を繰り返した．

層のアーベル圏

ここでは層の圏$\Sh(X)$について調べます．

層の核と像

さて$\PSh(X)$は前層の射に対して開集合ごとに核や像を定義することでアーベル圏になるのでした．層の場合にも同じことができるかを見てみましょう．

層の射の開集合ごとの核は層

$\varphi \colon F \to G$を層の射とする．$K(U):=\Ker \varphi_U$と定めると$K$は層である．

開集合の組$U \subset V$に対して，核の普遍性により次の図式を可換にする写像$\Ker \varphi_V \to \Ker \varphi_U$が定まる：
\begin{xy} \xymatrix{ 0 \ar[r] & \Ker \varphi_V \ar[r] \ar@{-->}[d] & F(V) \ar[r] \ar[d] & G(V) \ar[d] \\ 0 \ar[r] & \Ker \varphi_U \ar[r] & F(U) \ar[r] & G(U) } \end{xy}
これを制限写像として$K$は前層になる．貼り合わせ条件を確かめよう．開集合$U$と$U$の開被覆$\{U_i\}_{i \in I}$に対して$s_i \in K(U_i)$が与えられ任意の$i,j \in I$に対して$s_i|_{U_i \cap U_j}=s_j|_{U_i \cap U_j} \in K(U_i \cap U_j)$を満たすとする．これらを$s_i \in F(U_i)$とみなせば，上の可換図式から$K$の制限写像は$F$のそれと可換なので$F$で貼り合わせ条件の仮定を満たすことが分かる．$F$は層だから，一意的に$s \in F(U)$が存在して任意の$i \in I$に対して$s|_{U_i}=s_i$を満たす．すると，任意の$i \in I$に対して$s_i \in K(U_i)$であったから$\varphi_U(s)|_{U_i}=\varphi_{U_i}(s|_{U_i})=\varphi_{U_i}(s_i)=0$である．$G$は層だから，これは$\varphi_U(s)=0$を意味する．ゆえに$s \in K(U)$である．

層化の随伴との関係

層化函手は埋め込み函手$\iota \colon \Sh(X) \to \PSh(X)$の左随伴であった．上の補題は右随伴函手$\iota$が核を保つということからも分かる．

核については開集合ごとに考えることでめでたく層になりましたが，残念なことに像については次の例が示すように一般には層にはなりません．

層の射の開集合ごとの像は層とは限らない

$X=\bbC$として$X$上の正則函数のなす層$\cO_X$を考える．$f \in \cO_X(U)$に対して$(d/dz)_U(f)=df/dz$と定めると$d/dz \colon \cO_X \to \cO_X$は層の射である（微分は局所的！）．$I(U)=\Image (d/dz)_U$とすると，$I$は前層であるが層ではない．
前層であることは上の補題のように普遍性から定まる写像を考えればよい．$U=\bbC \setminus \{0\}, U_0=\bbC \setminus (-\infty,0], U_1=\bbC \setminus [0,+\infty)$とすると$\{U_0,U_1\}$は$U$の開被覆である．$U_0.U_1$は単連結だから$1/z$は$U_0,U_1$上原始函数をもつ．つまり$1/z \in I(U_i) \ (i =0,1)$である．しかし$1/z \not\in I(U)$である．

層の射に対して開集合ごとの像の対応は層ではないですが，我々は前層に対して「一番近い層」を対応される層化という道具を手に入れていたのでした．これを使って層の射の像を定義します．

層の核・像

$\varphi \colon F \to G$を層の射とする．$K(U):=\Ker \varphi_U$で定義した層を$\Ker \varphi$と書き，$\varphi$の核と呼ぶ．さらに，$I(U):=\Image \varphi_U$で定義した前層$I$の層化$I^+$を$\Image \varphi$と書き，$\varphi$の像と呼ぶ．

次は茎を取る函手が完全であることと層化で茎は変わらないことから得られます．

核・像の茎は茎ごとの核・像

層の射$\varphi \colon F \to G$に対して，$(\Ker \varphi)_x \simeq \Ker \varphi_x, (\Image \varphi)_x \simeq \Image \varphi_x$である．

層化の普遍性から，このように定義した核と像が満たしてほしい普遍性を満たすこともチェックできます．こうして次が分かりました．

層の圏はアーベル圏

$\Sh(X)$はアーベル圏である．

ここで後のために部分層・商層について準備しておきます．

商層

$F,G \in \Sh(X)$とする，$F$が$G$の部分層であるとは任意の開集合$U$に対して$F(U) \subset G(U)$であり任意の開集合の組$U \subset V$$\rho^F_{U,V}=\rho^G_{U,V}|_{F(V)}$であることを言う．単射な層の射$i \colon F \to G$が存在すると言ってもよい．このとき，$G/F$を$U$に$G(U)/F(U)$を対応させる前層の層化として定めて$G$の$F$による商層と呼ぶ．$G/F =\Coker i$と言ってもよい．

層の完全列

層の圏$\Sh(X)$がアーベル圏であることが分かったので次のように層の完全列を考えることができます．

層の完全列

層の射の列$F \xrightarrow{\varphi} G \xrightarrow{\psi} H$が完全であるとは$\Ker \psi = \Image \varphi$を満たすことをいう．さらに長い列が完全であるとは任意の連続する三つの射の列が完全であることをいう．

次は命題1と補題3から従います．

層の列が完全であることは茎が完全であることと同値

層の射の列$F \xrightarrow{\varphi} G \xrightarrow{\psi} H$が完全$\Leftrightarrow$任意の$x \in X$に対して$F_x \xrightarrow{\varphi_x} G_x \xrightarrow{\psi_x} H_x$が完全．

上の命題は非常に役立つものです．実際，層の列が完全であることを知るには任意の点の近傍だけを見れば良いからです．これを使って次のような層の完全列を得ることができます．

層の完全列の例

(i) $F$を$G$の部分層とすると$0 \to F \to G \to G/H \to 0$は完全である．
(ii) $X$を$\bbC$の領域とする．このとき正則函数の層$\cO_X$は有理型函数の層$\mathcal M_X$の部分層である．したがって，上の例の特殊な場合として$0 \to \cO_X \to \mathcal M_X \to \mathcal M_X /\cO_x \to 0$は完全である．
(iii) 再び$X$を$\bbC$の領域とする．$\cO^*$を$0$を取らない正則函数のなす層として乗法に関してアーベル群の層とみなす．層の射$\psi \colon \cO_X \to \cO_X^*$を$\psi_U(f):=\exp(2\pi \sqrt{-1} f)$と定めると$0 \to \bbZ_X \to \cO_X \xrightarrow{\psi} \cO_X^* \to 0$は層の完全列である．実際，命題5より完全性を示すには任意の点の十分小さい開円盤での完全性を言えばよいが，このときは$\log$が取れるのでよい．
(iv) $X$を$C^\infty$級多様体として$\mathcal A^k_X \ (k \in \bbZ_{\ge 0})$を$k$次微分形式のなす層とする．外微分の写像$d^k \colon \mathcal A^k_X \to \mathcal A^{k+1}_X$は層の射である．また$\bbR$に付随する定数層$\bbR_X$は$\mathcal A^0_X$の部分層とみなせる．このとき，
$$ 0 \to \bbR_X \to \mathcal A^0_X \xrightarrow{d^0} \mathcal A^1_X \xrightarrow{d^1} \mathcal A^2_X \to \cdots $$
は層の完全列である．実際，命題5より完全性を示すには任意の点の十分小さい開円盤での完全性を言えばよいが，これはポアンカレの補題より正しい．
(v) $P$を正則函数係数の線形微分作用素として層の射$P \colon \cO_X \to \cO_X$とみなす．このとき，$\cO_X \xrightarrow{P} \cO_X \to 0$が完全，すなわち$P$が全射であることは微分方程式$Pf=g$が任意の$g$に対して局所可解であることと同値である．これはCauchy–Kovalevskayaの定理などに現れる状況である．

上の例のように層の列が完全であるという状況はよく起こりチェックが容易いですが，それを$U$上の切断にすると完全かどうか分からなくなってしまいます．実際，上の例の(iii)では$X$が単連結でなければ$\psi_X \colon \cO_X(X) \to \cO^*_X(X)$は全射ではありません．一般に層の射$\varphi \colon F \to G$が全射$\Leftrightarrow$任意の開集合$U$と任意の$t \in G(U)$に対して，$U$の開被覆$\{U_i\}_{i \in I}$が存在して$t|_{U_i} \in \Image \varphi_{U_i}$しか分からないのです．まとめておくと，切断を取る函手については一般には次の左完全性しか分かりません．

切断函手の左完全性

任意の開集合$U$に対して，$U$上の切断を与える函手$\Gamma(U;\ast) \colon \Sh(X) \to Ab$は左完全函手である．すなわち，層の完全列$0 \to F \xrightarrow{\varphi} G \xrightarrow{\psi} H \to 0$に対して，$0 \to F(U) \xrightarrow{\varphi_U} G(U) \xrightarrow{\psi_U} H(U)$は完全である．

この命題は命題1と同様の議論で元を取ることで証明できます．別のやり方として埋め込み函手$\iota \colon \Sh(X) \to \PSh(X)$は層化函手の右随伴なので左完全で$\PSh(X)$の完全性は開集合ごとの完全性であることからも従います．
命題の最後$\psi_U$の全射性が分からないのはなんだか悲しいことです．例えば上の例での$(\mathcal M_X/\cO_X)(X)$の元が$\mathcal M_X(X)$で大域的に書けるかや局所的には常に可解な微分方程式$Pf=g$が大域的に解けるかは興味があることだからです．これがいつ全射になるかの条件が分かるようになれば嬉しいですが判定する道具はあるのでしょうか？実はこれが（層係数）コホモロジーというものです．次回やるように左完全でしかなかった列の右側に$H^1(U;F), H^1(U;G), H^1(U;H), H^2(U;F),\dots$と付け足していって
$$ 0 \to F(U) \xrightarrow{\varphi_U} G(U) \xrightarrow{\psi_U} H(U) \to H^1(U;F) \to H^1(U;G) \to H^1(U;H) \to H^2(U;F) \to \cdots $$
が完全になるようにできます．すると，$H^1(U;F)$を見ることで$\psi_U$の「全射でない具合」を見ることができます．嬉しいですね！次回やりましょう．