元日算額解説〜壱の巻〜

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こんにちは、UFDです。
今回は1月1日に数学を愛する会のTwitterで紹介された自作問題の解説を行います。↓そのtweet
https://twitter.com/mathlava/status/1344931558717857792?s=20
この問題です。
問題
正月ということで和算をイメージした問題になっています。
まだ解いていない方は是非解いてみてください。
また、解説が長いのでいくつかの章に分けることにしました。
これは第一章です。
では、始めます。

まず次の補題1を示します。

$図 1$ のように $3 円 O_{1}, O_{2}, O_{3}$ はそれぞれ $△ A B C, △ A B P, △ A P C$ の内接円とする。 $また、頂点 A から辺 B C$ に下ろした垂線の $足を H とする。$ $このとき、円 O_{1}, O_{2}, O_{3}$ の半径を $それぞれ r_{1}, r_{2}, r_{3} とし、$ $A H = h とするとき、$

$h (r_{2} + r_{3} - r_{1}) - 2 r_{2} r_{3} = 0$
である。
画像1 図1

【補題1の証明】
$図 2$ の $ように、 3 辺 B C, C A, A B$ の $長さをそれぞれ a, b, c とし、$
$s = \frac{a + b + c}{2}$ とする。
画像2 図2
$また、内接円 O_{1} が 3 辺 B C, C A, A B と接する点を$
$それぞれ D_{1}, E_{1}, F_{1} とし、 A F_{1} = α, B D_{1} = β, C E_{1} = γ とする。$
このとき、 $β = s - b, γ = s - a である。$
次に、 $図 3$ のように、
$辺 B C と 2 円 O_{2}, O_{3}$ の $接点をそれぞれ D_{2}, D_{3} とする。$
図3 図3
$△ O_{1} B D_{1} と △ O_{2} B D_{2} は相似なので、$
$B D_{1} : B D_{2} = β : B D_{2} = r_{1} : r_{2} 、$
$同様に C D_{1} : C D_{3} = γ : C D_{3} = r_{1} : r_{3}$ となる。従って、 $B D_{2} = \frac{r_{2} (s - b)}{r_{1}}, C D_{3} = \frac{r_{3} (s - c)}{r_{1}} \dots £$
さらに、図 $4$ のように、円 $O_{2}$ が $A B, A P$ と接する点を
それぞれ $F_{2}, G_{2}$ とし、円 $O_{3}$ が $A C, A P$ と接する点
をそれぞれ $E_{3}, G_{3}$ とする。
図4 図4
このとき $△ A B P$ の面積は、
$| △ A B P | = \frac{r_{2}}{2} (A B + B P + P A)$
$= \frac{r_{2}}{2} (A B + B P + P G_{3} + A G_{3})$
$= \frac{r_{2}}{2} (A B + B P + P D_{3} + A E_{3})$
$= \frac{r_{2}}{2} (A B + B D_{3} + A E 3)$
$= \frac{r_{2}}{2} (A B + B C - C D_{3} + C A - C E_{3})$
$= \frac{r_{2}}{2} (a + b + c - 2 C D_{3}) = \frac{r_{2}}{2} (s - C D_{3})$
である。 $| △ A P D |$ についても同様。従って、
$△ A B P = r_{2} (s - C D_{3}), △ A P C = r_{3} (s - B D_{2}) となる。$ $ここで、式 £ を代入すると、$
$△ A B P = r_{2} s - \frac{r_{2} r_{3} (s - c)}{r_{1}},$
$△ A P C = r_{3} s - \frac{r_{2} r_{3} (s - b)}{r_{1}}$
$最後に △ A B P + △ A P C = △ A B C = \frac{1}{2} a h より、$
$(r_{2} + r_{3}) s - \frac{r_{2} r_{3} (2 s - b - c)}{r_{1}}$ $= \frac{1}{2} a h$
$(r_{2} + r_{3}) s - \frac{a r_{2} r_{3}}{r_{1}}$ $= \frac{1}{2} a h$
$(r_{2} + r_{3}) r_{1} s - a r_{2} r_{3} - \frac{1}{2} a h r_{1} = 0$
$ここで r_{1} s = \frac{1}{2} a h より、$
$h (r_{2} + r_{3} - r_{1}) - 2 r_{2} r_{3} = 0$ //