行列式と面積

はじめに

前回の記事 で，行列の固有値と固有ベクトルについて書きましたが，そのときにタイトルのことを思い出したので，それについてもまとめてみることにしました．なお，この記事では基本的に$2\times 2$行列について考えることにします（高校数学でよくでてくるので）．

よく知られた事実

vec1

この$ad-bc$が行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$の行列式であり，$\det A$などともかく．これは，次の（これまたよく知られた事実）と一致している．

こちらの方が高校生にはなじみがあると思われる（おそらく教科書にも問題として掲載があることが多い）．この証明は三角形の面積を愚直に計算すればよい．

理由を考える

まず，行列と固有値について次が成り立っている（一般に$n$次でも成り立つ）ことを認めよう．

また，行列$A$の固有ベクトル$\overrightarrow{p}$とその固有値$\lambda$においては$A\overrightarrow{p}=\lambda \overrightarrow{p}$が成り立っていた．これは行列$A$を掛けるという線形変換においては固有ベクトルは回転されず，定数倍の伸び縮みしかしないということである．ここで$A$の$2$つの固有ベクトルを$\overrightarrow{p_1}$，$\overrightarrow{p_2}$と,その固有値${\lambda }_1$，${\lambda }_2$とすると，$\overrightarrow{p_1}$，$\overrightarrow{p_2}$で作られる四角形（平行四辺形）の面積は行列$A$による変換を考えると，次のようになっているということである．
線形変換
つまり，行列$A$による線形変換では$2$つの固有ベクトルが作る平行四辺形の面積は$2$つの固有値の積${\lambda }_1{\lambda }_2$倍変化するということである．ここで，先に紹介した事実を用いれば${\lambda }_1{\lambda }_2=\det A$であるから結局，面積は$\det A$倍される．
固有ベクトルではない$\overrightarrow{q_1}$，$\overrightarrow{q_2}$が作る平行四辺形の面積についても，$\overrightarrow{q_1}$，$\overrightarrow{q_2}$を$\overrightarrow{p_1}$，$\overrightarrow{p_2}$の線形結合で書き直すことができるので$\overrightarrow{q_1}$，$\overrightarrow{q_2}$から作られる平行四辺形の面積はやはり$\det A$倍される．

まとめ

つまり，$\overrightarrow{a}=(a,c),\overrightarrow{b}=(b,d)$によって作られる平行四辺形の面積は，$2$次元ベクトル空間の正規直交基底$e_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$，$e_1=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$により作られる平行四辺形の面積が$1$であり，$\overrightarrow{e_1}$，$\overrightarrow{e_2}$をいつでも${}^1$行列$A$の固有ベクトルを用いて書き直すことができるので，その面積は固有値の積だけ拡大される．つまり$\det A$倍され，元の面積は$1$であったから結局，面積は$\det A=ad-bc$となる．

${}^1$固有ベクトルが$2$つとれる場合はその$2$つの固有ベクトルは$1$次独立になる．