級数の問題２　解説

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$$ \frac{\sin\theta}{1-\cos\theta}=\frac{2\sin(\theta/2)\cos(\theta/2)}{2\sin^2(\theta/2)}=\cot\left(\frac{\theta}{2}\right) $$
であるから、
$$ \sum_{m=1}^{n}(-1)^{m-1}\cot\left(\frac{(2m-1)\pi}{4n}\right) =\sum_{m=1}^{n}(-1)^{m-1}\frac{\sin\left(\frac{(2m-1)\pi}{2n}\right)}{1-\cos\left(\frac{(2m-1)\pi}{2n}\right)} $$
である。
ここで、$1/T_n(x)$の部分分数分解をする。ただし、$T_n(x)$は$n$次のチェビシェフ多項式で、$T_n(\cos\theta)=\cos(n\theta)$を満たす。$T_n(x)$の根は$\cos\left(\frac{(2m-1)\pi}{2n}\right)(m=1,\cdots ,n)$だから、
$$ \frac{1}{T_n(x)} =\sum_{m=1}^{n}\frac{a_m}{x-\cos\left(\frac{(2m-1)\pi}{2n}\right)} $$
と部分分数分解できる。各$a_m$は
$$ a_m=\lim_{x\to\cos\left(\frac{(2m-1)\pi}{2n}\right)}\frac{x-\cos\left(\frac{(2m-1)\pi}{2n}\right)}{T_n(x)}=\frac{1}{T_n'\left(\cos\left(\frac{(2m-1)\pi}{2n}\right)\right)} $$
で求められる。$T_n(\cos\theta)=\cos(n\theta)$の両辺を$\theta$で微分して、
$$ T_n'(\cos \theta)(-\sin\theta)=-n\sin(n\theta)\\ \therefore T_n'(\cos \theta)=\frac{n\sin(n\theta)}{\sin\theta} $$
であるから、
$$ a_m=\frac{\sin\left(\frac{(2m-1)\pi}{2n}\right)}{n\cos\left(\frac{(2m-1)\pi}{2}\right)}=(-1)^{m-1}\frac{\sin\left(\frac{(2m-1)\pi}{2n}\right)}{n} $$
ゆえに、
$$ \frac{1}{T_n(x)}=\sum_{m=1}^{n}\frac{(-1)^{m-1}\frac{\sin\left(\frac{(2m-1)\pi}{2n}\right)}{n}}{x-\cos\left(\frac{(2m-1)\pi}{2n}\right)}\\ \therefore \frac{n}{T_n(x)}=\sum_{m=1}^{n} (-1)^{m-1}\frac{\sin\left(\frac{(2m-1)\pi}{2n}\right)}{x-\cos\left(\frac{(2m-1)\pi}{2n}\right)} $$
となる。したがって、求める和は$n/T_n(1)$であり、
$$ T_n(1)=T_n(\cos 0)=\cos(n0)=1 $$
であるから、すなわち$n$となる。つまり、
$$ \sum_{m=1}^{n}(-1)^{m-1}\cot\left(\frac{(2m-1)\pi}{4n}\right)=n $$
である。