遭難者さんがツイートされていた式を示してみた

上にある 遭難者さんがツイートされていた式 を示します
${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n!n!(3n^2-1)}{(2n+1)!}=1}$を示します。

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n!n!(3n^2-1)}{(2n+1)!}}$
${\displaystyle =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n!n!}{(2n-1)!}-\frac{(n+1)!(n+1)!}{(2n+1)!}}$
${\displaystyle f(n)=\frac{n!n!}{(2n-1)!}}$とおくと
${\displaystyle =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}f(n)-f(n+1)}$
${\displaystyle =f(1)}$
${\displaystyle =1}$
よって${\displaystyle \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{n!n!(3n^2-1)}{(2n+1)!}={\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n!n!(3n^2-1)}{(2n+1)!}-1=1-1=0}}$
となり上の式が示されました。

最後に

$f(n)-f(n+1)$の形を作っていたら綺麗にできてうれしかったので書いてみました。面白かったです！