∑gcd(N, i)の計算

$$ \sum_{i=1}^{n} gcd(n,i) を求めたい。 $$

さっそくやり方。
$$ \sum_{i=1}^{n} gcd(n,i) \\= \sum_{d|n}d×(gcd(n,i)=dとなるようなi(1 \leq i \leq n)の個数) \\= \sum_{d|n}d×(gcd(n/d,i)=1となるようなi(1 \leq i \leq n/d)の個数) \\= \sum_{d|n}d×φ(n/d) \quad (φはオイラー関数) \\= \sum_{d|n}n/d×φ(d) \\(ここで、n= \prod_{i=1}^{k}p_{i}^{e_{i}},d= \prod_{i=1}^{k}p_{i}^{f_{i}}とすると) \\= \sum_{d|n}(\prod_{i=1}^{k}p_{i}^{e_{i}-f_{i}})×( \prod_{i=1}^{k}(p_{i}^{f_{i}+1}-p_{i}^{f_{i}})/p_{i}) \quad(ただし、fi=0のときのみ例外となることに注意) \\= \prod_{i=1}^{k}( (\sum_{j=1}^{e_{i}}(p_{i}^{e_{i}+1}-p_{i}^{e_{i}})/p_{i})+1) \\= n\prod_{i=1}^{k}((p_{i}-1)(e_{i}+1)+1)/p_{i}) \\よって、nの素因数分解により \sum_{i=1}^{n}gcd(n,i)が求まる。 $$
おかしいところあったら指摘してもらえると助かります。

$$ $$