有限和の解説(2)

この記事では, 以下の有限和を解説しようと思います.

ただしここで, ${\displaystyle H_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}}$です.

(証明)

恒等式

$$\sum _{k=1}^n\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}{k}{x}^k=\sum _{k=1}^n\frac{(x+1{)}^k-1}{k}$$
が成り立つことを示します.

まず$x=0$で両辺は一致していて, また両辺の微分は

$$\begin{array}{rcl}(LHS{)}^{\prime }& =& \sum _{k=1}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})x^{k-1}\\ & =& \frac{(x+1{)}^n-1}{x}\\ (RHS{)}^{\prime }& =& \sum _{k=1}^n(x+1{)}^{k-1}\\ & =& \frac{(x+1{)}^n-1}{x}\end{array}$$
となって一致しているので, 示されました.

これに$x=-1$を代入して所望の式を得ます.$$◻$$