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大学数学基礎解説
有限和の解説(2)
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0
$$\newcommand{a}[0]{\alpha}
\newcommand{b}[0]{\beta}
\newcommand{beq}[0]{\begin{eqnarray*}}
\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}}
\newcommand{ds}[0]{\displaystyle}
\newcommand{eeq}[0]{\end{eqnarray*}}
\newcommand{G}[1]{\Gamma({#1})}
\newcommand{g}[0]{\gamma}
\newcommand{hp}[0]{\frac{\pi}2}
\newcommand{limn}[0]{\lim_{n\to\infty}}
\newcommand{N}[0]{\mathbb{N}}
\newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}}
\newcommand{R}[0]{\mathbb{R}}
\newcommand{sumk}[0]{\sum_{k=1}^n}
\newcommand{sumn}[1]{\sum_{n={#1}}^\infty}
\newcommand{t}[0]{\theta}
\newcommand{tc}[0]{\TextCenter}
\newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}}
$$
${}$
この記事では, 以下の有限和を解説しようと思います.
$$\sumk\frac{(-1)^k}{k}\binom{n}{k}=-H_n$$
ただしここで, $\ds H_n=\sumk\frac1k$です.
${}$
(証明)
恒等式
$$\sumk\frac{\binom{n}{k}}{k}x^k=\sumk\frac{(x+1)^k-1}{k}$$
が成り立つことを示します.
まず$x=0$で両辺は一致していて, また両辺の微分は
$$\beq
(LHS)'&=&\sumk\binom{n}{k}x^{k-1}\\[5pt]
&=&\frac{(x+1)^n-1}{x}\\[10pt]
(RHS)'&=&\sumk(x+1)^{k-1}\\[5pt]
&=&\frac{(x+1)^n-1}{x}
\eeq$$
となって一致しているので, 示されました.
これに$x=-1$を代入して所望の式を得ます.$$\Box$$
${}$
投稿日：2021年1月4日
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