${}$
この記事では, $e$のTaylor展開 $\ds e^x=\sumn{0}\frac{x^n}{n!}$ を初等的に証明してみようと思います. ただし$e$の定義は$\ds e^x=\limn\Big(1+\frac xn\Big)^n$ とします.
参考文献は, 私の通わせてもらっていたお塾の先生の授業です.
${}$
(証明)
$$ a_n=\Big(1+\frac xn\Big)^n$$
とおきます. 二項定理より
$$\beq
a_n&=&\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\frac{x^k}{n^k}\\[5pt]
&=&\sum_{k=0}^n\frac{x^k}{k!}\cdot\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n^k}\\[5pt]
&=&\sum_{k=0}^n\frac{x^k}{k!}\cdot\Big(1-\frac{1}{n}\Big)\cdots\Big(1-\frac{k-1}{n}\Big)
\eeq$$
と書けます.
ここで $$ b_n=\sum_{k=0}^n\frac{x^k}{k!}$$ とおくと, 全ての$n\in\N$で$a_n\leq b_n$が成り立ちます.
さらに, $m\leq n$なる$m\in\N$に対し, $$ c_n=\sum_{k=0}^m\frac{x^k}{k!}\cdot\Big(1-\frac{1}{n}\Big)\cdots\Big(1-\frac{k-1}{n}\Big)$$ とおくと, 全ての$n\in\N$で$c_n\leq a_n$が成り立ちます.
${}$
従って, $n\to\infty$とすることにより, 任意の$m\in\N$に対して
$$ \sum_{k=0}^m\frac{x^k}{k!}\leq \limn\Big(1+\frac xn\Big)^n\leq \limn\sum_{k=0}^n\frac{x^k}{k!}$$
が成り立ちます. ($b_n$の収束性については省略します.)
ここでさらに$m\to\infty$とすることで, はさみうちの原理から,
$$ e^x=\limn\sum_{k=0}^n\frac{x^k}{k!}$$
を示すことができました.
あれ, でもこの評価は$x\geq0$のときにしか通用しないですね...
$$\Box$$
${}$