e^xのTaylor展開の初等的な証明

この記事では, $e$のTaylor展開 ${\displaystyle e^x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}}$ を初等的に証明してみようと思います. ただし$e$の定義は${\displaystyle e^x=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{x}{n}{)}^n}$ とします.

参考文献は, 私の通わせてもらっていたお塾の先生の授業です.
$$

(証明)

$$a_n=(1+\frac{x}{n}{)}^n$$
とおきます. 二項定理より
$$\begin{array}{rcl}{a}_n& =& \sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\frac{x^k}{n^k}\\ & =& \sum _{k=0}^n\frac{x^k}{k!}\cdot \frac{n(n-1)\cdots (n-k+1)}{n^k}\\ & =& \sum _{k=0}^n\frac{x^k}{k!}\cdot (1-\frac{1}{n})\cdots (1-\frac{k-1}{n})\end{array}$$
と書けます.

ここで $$b_n=\sum _{k=0}^n\frac{x^k}{k!}$$ とおくと, 全ての$n\in \mathbb{N}$で$a_n\le b_n$が成り立ちます.

さらに, $m\le n$なる$m\in \mathbb{N}$に対し, $$c_n=\sum _{k=0}^m\frac{x^k}{k!}\cdot (1-\frac{1}{n})\cdots (1-\frac{k-1}{n})$$ とおくと, 全ての$n\in \mathbb{N}$で$c_n\le a_n$が成り立ちます.
$$

従って, $n\to \mathrm{\infty }$とすることにより, 任意の$m\in \mathbb{N}$に対して

$$\sum _{k=0}^m\frac{x^k}{k!}\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{x}{n}{)}^n\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=0}^n\frac{x^k}{k!}$$
が成り立ちます. ($b_n$の収束性については省略します.)

ここでさらに$m\to \mathrm{\infty }$とすることで, はさみうちの原理から,
$$e^x=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=0}^n\frac{x^k}{k!}$$
を示すことができました.

あれ, でもこの評価は$x\ge 0$のときにしか通用しないですね...
$$◻$$