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。さんの問題の解答

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この記事では, Twitterで 。さん がツイートされていた, 以下の問題の, 私の解法を書こうと思います.

(問題)limnm=1n(1mk=2n1k2m)=log2
を示せ.

(こちらの都合で, 問題文の表記のみ少し変更させてもらいました.)

(証明)

m=1n1mk=2n1k2m=01m=1nk=2nxm1k2mdx=k=2n011k2m=1n(xk2)m1dx=k=2n01 1(xk2)nk2xdx
と表せます.

ここで第2k=2n011k2x(xk2)ndxは, nで明らかに0に収束します. このことは,
k=2n011k2x(xk2)ndxk=2n1k2n(k21)k=2n1322n=n1322n
とすれば, 簡単に示せます.

従って, 極限には第1項しか影響せず,

limnm=1n1mk=2n1k2m=limnk=2n011k2xdx=limnk=2nlogk2k21=limnk=2nlogkk(k1)(k+1)=limnlog22133324nn(n1)(n+1)=limnlog2nn+1=log2
と, 示すことができました.

投稿日:202115
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投稿者

東大数理M1

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