この記事では, Twitterで 。さん がツイートされていた, 以下の問題の, 私の解法を書こうと思います.
(こちらの都合で, 問題文の表記のみ少し変更させてもらいました.)
(証明)
∑m=1n1m∑k=2n1k2m=∫01∑m=1n∑k=2nxm−1k2mdx=∑k=2n∫011k2∑m=1n(xk2)m−1dx=∑k=2n∫01 1−(xk2)nk2−xdxと表せます.
ここで第2項∑k=2n∫011k2−x(xk2)ndxは, n→∞で明らかに0に収束します. このことは,∑k=2n∫011k2−x(xk2)ndx≤∑k=2n1k2n(k2−1)≤∑k=2n13⋅22n=n−13⋅22nとすれば, 簡単に示せます.
従って, 極限には第1項しか影響せず,
limn→∞∑m=1n1m∑k=2n1k2m=limn→∞∑k=2n∫011k2−xdx=limn→∞∑k=2nlogk2k2−1=limn→∞∑k=2nlogk⋅k(k−1)(k+1)=limn→∞log2⋅21⋅3⋅3⋅32⋅4⋯n⋅n(n−1)(n+1)=limn→∞log2⋅nn+1=log2と, 示すことができました.◻
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