今回は数学オリンピックを受ける人なら知っているであろう不等式である、Nesbittの不等式の証明と、その(一つの)一般化について書きたいと思います。
まず、Nesbittの不等式は次のようなものでした。
正の数$a,b,c$に対し
$$ \leftn\geqq \frac{3}{2}$$
が成り立つ。(等号成立は$a=b=c$のとき)
$3$変数の対称式なので、大小関係を設定したり、分母を払ってCauchy-Schwarzの不等式を使ったりすれば導出することができますが、一般化することを考えて対称性を保った方法で導出する方法を紹介したいと思います。
左辺を
\begin{align} \leftn&=\left(\frac{a}{b+c}+1\right)+\left(\frac{b}{c+a}+1\right)+\left(\frac{c}{a+b}+1\right)-3\\
&=\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{c+a}+\frac{a+b+c}{a+b}-3\\
&=(a+b+c)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)-3
\end{align}
と変形する。
ここで$a+b=\alpha,b+c=\beta,c+a=\gamma$と置くと、$\alpha,\beta,\gamma>0$であり、$a+b+c=\dfrac{\alpha+\beta+\gamma}{2}$となるので、
\begin{align} \leftn&=\frac{1}{2}(\alpha+\beta+\gamma)\left(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma}\right)-3\\
&=\frac{1}{2}\left(\frac{\alpha}{\alpha}+\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\alpha}{\gamma}+\frac{\beta}{\alpha}+\frac{\beta}{\beta}+\frac{\beta}{\gamma}+\frac{\gamma}{\alpha}+\frac{\gamma}{\beta}+\frac{\gamma}{\gamma}\right)-3\\
&=\frac{1}{2}\left(3+\frac{\beta}{\alpha}+\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\gamma}{\beta}+\frac{\beta}{\gamma}+\frac{\alpha}{\gamma}+\frac{\gamma}{\alpha}\right)-3\\
&\geqq\frac{1}{2}(3+2+2+2)-3\\
&=\frac{3}{2}
\end{align}
ただし、4行目の不等号には相加相乗平均を用いた。等号成立は、$\alpha=\beta=\gamma$つまり$a=b=c$のとき。
今回の証明は左辺の各項に$1$を加えることで$a+b+c$という共通因数を作るところがポイントです。Nesbittの不等式は$3$変数なので、愚直に展開して相加相乗平均を足し合わせることで最小値を求めることができましたが、次に述べる一般化は$n$変数になるので、もう少しうまい方法をとりたいと思います。
Nesbittの不等式の一般化というとShapiroの不等式というものが割と有名ですが、今回は、分母の数を増やしていこうと思います。つまり、次のことが成り立ちます。
正の数$a_1,a_2,\dots,a_n(n\geqq2)$に対し
$$ \frac{a_1}{a_2+a_3+\cdots+a_n}+\frac{a_2}{a_1+a_3+\cdots+a_n}+\cdots+\frac{a_n}{a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}}\geqq \frac{n}{n-1}$$
が成り立つ。(等号成立は$a_1=a_2=\cdots a_n$のとき)
$n=3$とすればNesbittの不等式になるので、これは確かに一般化になっています。
こうなると、分母を払うことが難しいので先ほどのような方法が役に立ちます。
まず、証明の前に一つ今回使う定理を紹介します。
正の数$a_1,a_2,\dots,a_n$に対し
$$\frac{\displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_k}{n}\geqq \frac{n}{{\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{a_k}}}$$
が成り立つ。(等号成立は$a_1=a_2=\cdots=a_n$のとき)
これは、$n$変数相加相乗調和平均の相乗平均の部分を無視したものです。$n=3$のときに、これを用いると先ほどの証明の$(\alpha+\beta+\gamma)\left(\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta}+\dfrac{1}{\gamma}\right)$が$3^2=9$以上であることが直ちに分かります。この不等式を用いて、$n$変数のNesbittの不等式の一般化を証明します。
左辺の$k$番目$(k=1,2,\dots,n)$の項$\dfrac{a_k}{a_1+a_2+\cdots+a_n-a_k}$に$1$を加えると、$(a_1+a_2+\cdots+a_n)\dfrac{1}{a_1+a_2+\cdots+a_n-a_k}$となるので、左辺は
$$ \frac{a_1}{a_2+a_3+\cdots+a_n}+\frac{a_2}{a_1+a_3+\cdots+a_n}+\cdots+\frac{a_n}{a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}}=\left(\sum_{k=1}^{n}a_k\right)\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{a_1+a_2+\cdots+a_n-a_k}\right)-n$$
となる。
ここで$b_k=a_1+a_2+\cdots+a_n-a_k$と置くと、$b_k>0$であり$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_k=\frac{\displaystyle \sum_{k=1}^{n}b_k}{n-1}$となるので、
\begin{align}
\frac{a_1}{a_2+a_3+\cdots+a_n}+\frac{a_2}{a_1+a_3+\cdots+a_n}+\cdots+\frac{a_n}{a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}}&=\frac{1}{n-1}\left(\sum_{k=1}^{n}b_k\right)\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{b_k}\right)-n\\
&\geqq \frac{n^2}{n-1}-n\\
&=\frac{n}{n-1}
\end{align}
ただし、2行目の不等号にはAM-HM不等式を用いた。等号成立は$b_1=b_2=\cdots=b_n$つまり$a_1=a_2=\cdots=a_n$のとき。
というわけで、一般化したNesbittの不等式を証明することができました。証明しておいてなんですが、この不等式を使う機会ってあるんですかね?