Nesbittの不等式とその一般化

左辺を
\begin{align} \leftn&=\left(\frac{a}{b+c}+1\right)+\left(\frac{b}{c+a}+1\right)+\left(\frac{c}{a+b}+1\right)-3\\ &=\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{c+a}+\frac{a+b+c}{a+b}-3\\ &=(a+b+c)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)-3 \end{align}
と変形する。
ここで$a+b=\alpha,b+c=\beta,c+a=\gamma$と置くと、$\alpha,\beta,\gamma>0$であり、$a+b+c=\dfrac{\alpha+\beta+\gamma}{2}$となるので、
\begin{align} \leftn&=\frac{1}{2}(\alpha+\beta+\gamma)\left(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma}\right)-3\\ &=\frac{1}{2}\left(\frac{\alpha}{\alpha}+\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\alpha}{\gamma}+\frac{\beta}{\alpha}+\frac{\beta}{\beta}+\frac{\beta}{\gamma}+\frac{\gamma}{\alpha}+\frac{\gamma}{\beta}+\frac{\gamma}{\gamma}\right)-3\\ &=\frac{1}{2}\left(3+\frac{\beta}{\alpha}+\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\gamma}{\beta}+\frac{\beta}{\gamma}+\frac{\alpha}{\gamma}+\frac{\gamma}{\alpha}\right)-3\\ &\geqq\frac{1}{2}(3+2+2+2)-3\\ &=\frac{3}{2} \end{align}
ただし、4行目の不等号には相加相乗平均を用いた。等号成立は、$\alpha=\beta=\gamma$つまり$a=b=c$のとき。

左辺の$k$番目$(k=1,2,\dots,n)$の項$\dfrac{a_k}{a_1+a_2+\cdots+a_n-a_k}$に$1$を加えると、$(a_1+a_2+\cdots+a_n)\dfrac{1}{a_1+a_2+\cdots+a_n-a_k}$となるので、左辺は
$$ \frac{a_1}{a_2+a_3+\cdots+a_n}+\frac{a_2}{a_1+a_3+\cdots+a_n}+\cdots+\frac{a_n}{a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}}=\left(\sum_{k=1}^{n}a_k\right)\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{a_1+a_2+\cdots+a_n-a_k}\right)-n$$
となる。
ここで$b_k=a_1+a_2+\cdots+a_n-a_k$と置くと、$b_k>0$であり$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_k=\frac{\displaystyle \sum_{k=1}^{n}b_k}{n-1}$となるので、
\begin{align} \frac{a_1}{a_2+a_3+\cdots+a_n}+\frac{a_2}{a_1+a_3+\cdots+a_n}+\cdots+\frac{a_n}{a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}}&=\frac{1}{n-1}\left(\sum_{k=1}^{n}b_k\right)\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{b_k}\right)-n\\ &\geqq \frac{n^2}{n-1}-n\\ &=\frac{n}{n-1} \end{align}
ただし、2行目の不等号にはAM-HM不等式を用いた。等号成立は$b_1=b_2=\cdots=b_n$つまり$a_1=a_2=\cdots=a_n$のとき。