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(2^k)n+1型素数が無数にあることの証明

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$$\newcommand{a}[0]{\alpha} \newcommand{b}[0]{\beta} \newcommand{beq}[0]{\begin{eqnarray*}} \newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{ds}[0]{\displaystyle} \newcommand{eeq}[0]{\end{eqnarray*}} \newcommand{G}[1]{\Gamma({#1})} \newcommand{g}[0]{\gamma} \newcommand{hp}[0]{\frac{\pi}2} \newcommand{limn}[0]{\lim_{n\to\infty}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{sumk}[0]{\sum_{k=1}^n} \newcommand{sumn}[1]{\sum_{n={#1}}^\infty} \newcommand{t}[0]{\theta} \newcommand{tc}[0]{\TextCenter} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

${}$

この記事では, タイトルの通り, 任意の$k\in\N$に対して, $2^kn+1$型素数が無数に存在することの証明を書こうと思います.

参考文献は, すみません, 忘れてしまいました... ネットで見かけたんだったと思います.
${}$

(証明)

まず, フェルマー数 $2^{2^n}+1$ の素因数は $p=2^{n+1}m+1$ の形で書けるものに限ることを示します.

ある素数$p$を法として$2^{2^n}+1\equiv0$であるとすると, $2^{2^{n+1}}\equiv1$となります.

従って, $2^q\equiv1\mod p$ なる最小の自然数$q$は, $2^{n+1}$の約数であって$2^n$の約数でないです. 即ち, $q=2^{n+1}$ です.

ところでフェルマーの小定理より $2^{p-1}\equiv1\mod p$ ですから, ($p\neq2$なので.) $q$$p-1$の約数です. 従って, ある自然数$m$を用いて $p=2^{n+1}m+1$ と書けることがわかりました.
${}$

次に, フェルマー数は全て互いに素であることを示します. これは, $F_n=2^{2^n}+1$ とおいて,
$$\beq F_n-2&=&2^{2^n}-1\\ &=&\big(2^{2^{n-1}}+1\big)\big(2^{2^{n-1}}-1\big)\\ &=&\cdots\\ &=&F_{n-1}F_{n-2}\cdots F_1F_0 \eeq$$
であり, $2$はフェルマー数の約数でないことから従います.
${}$

フェルマー数は無数に存在するので, 以上より, 「ある$m,n\in\N$が存在して$p=2^{n+1}m+1$と書ける」を満たす素数$p$が無数に存在することがわかりました.
${}$

すると, 各$k\in\N$に対して, 「『ある$m,n\in\N$が存在して, $n\geq k$かつ$p=2^{n+1}m+1$である』を満たす素数$p$が無数に存在する」と言えます.

このとき, $p=2^k\cdot2^{n-k+1}m+1$と書き換えて, $2^{n-k+1}m$$n$と読み換えることにより, 各$k\in\N$に対して, 「『ある$n\in\N$が存在して, $p=2^{k}n+1$である』を満たす素数$p$が無数に存在する」と言えました.$$\Box$$

${}$

投稿日:202115

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投稿者

東大理数B4です

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