(2^k)n+1型素数が無数にあることの証明

この記事では, タイトルの通り, 任意の$k\in \mathbb{N}$に対して, $2^{k}n+1$型素数が無数に存在することの証明を書こうと思います.

参考文献は, すみません, 忘れてしまいました... ネットで見かけたんだったと思います.
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(証明)

まず, フェルマー数 $2^{2^n}+1$ の素因数は $p=2^{n+1}m+1$ の形で書けるものに限ることを示します.

ある素数$p$を法として$2^{2^n}+1\equiv 0$であるとすると, $2^{2^{n+1}}\equiv 1$となります.

従って, $2^q\equiv 1\mathrm{mod}p$ なる最小の自然数$q$は, $2^{n+1}$の約数であって$2^n$の約数でないです. 即ち, $q=2^{n+1}$ です.

ところでフェルマーの小定理より $2^{p-1}\equiv 1\mathrm{mod}p$ ですから, ($p\ne 2$なので.) $q$は$p-1$の約数です. 従って, ある自然数$m$を用いて $p=2^{n+1}m+1$ と書けることがわかりました.
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次に, フェルマー数は全て互いに素であることを示します. これは, $F_n=2^{2^n}+1$ とおいて,
$$\begin{array}{rcl}{F}_n-2& =& 2^{2^n}-1\\ & =& (2^{2^{n-1}}+1)(2^{2^{n-1}}-1)\\ & =& \cdots \\ & =& F_{n-1}{F}_{n-2}\cdots F_1{F}_0\end{array}$$
であり, $2$はフェルマー数の約数でないことから従います.
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フェルマー数は無数に存在するので, 以上より, 「ある$m,n\in \mathbb{N}$が存在して$p=2^{n+1}m+1$と書ける」を満たす素数$p$が無数に存在することがわかりました.
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すると, 各$k\in \mathbb{N}$に対して, 「『ある$m,n\in \mathbb{N}$が存在して, $n\ge k$かつ$p=2^{n+1}m+1$である』を満たす素数$p$が無数に存在する」と言えます.

このとき, $p=2^k\cdot 2^{n-k+1}m+1$と書き換えて, $2^{n-k+1}m$を$n$と読み換えることにより, 各$k\in \mathbb{N}$に対して, 「『ある$n\in \mathbb{N}$が存在して, $p=2^{k}n+1$である』を満たす素数$p$が無数に存在する」と言えました.$$◻$$