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積分解説02

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$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

2020/11/02に出題した問題です。
https://twitter.com/sounansya_29/status/1323227259084271616?s=21

$$\displaystyle \int_\frac\pi4^\frac\pi2 \frac{\cos x\displaystyle\sqrt{\log\tan x}}{\sin^3x}dx$$

[解説]
$ \begin{eqnarray*} &&\int_\frac\pi4^\frac\pi2 \frac{\cos x\displaystyle\sqrt{\log\tan x}}{\sin^3x}dx\\ &=&\int_\frac\pi4^\frac\pi2 \frac{\displaystyle (1+\tan^2x)\sqrt{\log\tan x}}{\tan^3x}dx\\ &=&\int_0^\infty \frac{(1+e^{2t})e^t\sqrt{t}}{e^{3t}(1+e^{2t})}dt&(t=\log\tan x)\\ &=&\int_0^\infty t^\frac12e^{-2t}dt\\ &=&\frac1{2\sqrt2}\int_0^\infty u^\frac12e^{-u}du&(u=2t)\\ &=&\frac1{2\sqrt2}\Gamma\left(\frac32\right)\\ &=&\frac{\sqrt{\pi}}{4\sqrt2} \end{eqnarray*} $
よって、この問題の解答は$\displaystyle \frac{\sqrt{\pi}}{4\sqrt2}$となります。

投稿日:2020117

投稿者

遭難者です.高専1年です.MZV,級数,積分をメインにやっています.

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