積分解説02

2020/11/02に出題した問題です。
https://twitter.com/sounansya_29/status/1323227259084271616?s=21

[解説]
$ \begin{eqnarray*} &&\int_\frac\pi4^\frac\pi2 \frac{\cos x\displaystyle\sqrt{\log\tan x}}{\sin^3x}dx\\ &=&\int_\frac\pi4^\frac\pi2 \frac{\displaystyle (1+\tan^2x)\sqrt{\log\tan x}}{\tan^3x}dx\\ &=&\int_0^\infty \frac{(1+e^{2t})e^t\sqrt{t}}{e^{3t}(1+e^{2t})}dt&(t=\log\tan x)\\ &=&\int_0^\infty t^\frac12e^{-2t}dt\\ &=&\frac1{2\sqrt2}\int_0^\infty u^\frac12e^{-u}du&(u=2t)\\ &=&\frac1{2\sqrt2}\Gamma\left(\frac32\right)\\ &=&\frac{\sqrt{\pi}}{4\sqrt2} \end{eqnarray*} $
よって、この問題の解答は$\displaystyle \frac{\sqrt{\pi}}{4\sqrt2}$となります。