0
大学数学基礎解説
文献あり

プチ定義集:加群の素因子

233
0
$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

今回は可換環上の加群に対する素因子を定義します.まず,ひとつの補題を用意しましょう.

$A$ を可換環,$M$$A$ 加群,$I$$A$ のイデアルとする.以下は同値である:

  1. ある $x \in M$ が存在して $I = \operatorname{ann}_A x := \{ a \in A \mid ax = 0 \}$
  2. $A$ 線型な単射 $f \colon A/I \to M$ が存在する.

1.$\Rightarrow$2. 写像 $g \colon A \to M$$g(a) = ax$ で定義すると,
$$ \ker g = \{ a \in A \mid ax = 0\} = \operatorname{ann}_A x.$$
剰余加群の普遍性により $A$ 線型な単射 $f \colon A/I \to M$ が存在する.
2.$\Rightarrow$1. $x = f(1)$ とすれば,$f$ の単射性から $a \in A$ に対し
$$ ax = 0 ~~ \iff ~~ a \in I,$$
すなわち $I = \operatorname{ann}_A x$ が成り立つ.

加群の素因子

$A$ を可換環,$M$$A$ 加群とする.$A$ の素イデアル $P$ が補題の条件 1. および 2. を充たすとき,$M$素因子という.

一方で,可換環論には準素分解を用いたイデアルの素因子というものが定義されています.同じ用語で異なる概念を示すものだとしたらこれは困りますが,可換環論の枠組みで重要な場合,すなわちネーター環の場合には両者が一致することが示されています.

イデアルの素因子

可換環 $A$ のイデアル $I$ が準素分解をもつものとし,
$$ I = Q_1 \cap Q_2 \cap \cdots \cap Q_s$$
をその無駄のない準素分解とする.このとき,$\sqrt{Q_t}$ ($1 \le t \le s$) を $I$素因子という.

Atiyah-MacDonald, Proposition 7.17

$A$ をネーター環,$I$$A$ のイデアルとする.$A$ の素イデアル $P$ に対し,以下は同値である:

  1. $P$ は定義 1 の意味で剰余加群 $A/I$ の素因子である,
  2. $P$ は定義 2 の意味でイデアル $I$ の素因子である.

参考文献

[1]
M. F. Atiyah and I. G. MacDonald, 可換代数入門
投稿日:202115

この記事を高評価した人

高評価したユーザはいません

この記事に送られたバッジ

バッジはありません。

投稿者

龍孫江
龍孫江
120
11845
代数学(群論・環論・体論)の問題を解説するYouTubeチャンネル「龍孫江の数学日誌」を運営しております(リンクからどうぞ).YouTubeでは扱いきれないまとまった記事を書いていきたいと思います.どうぞご贔屓に.

コメント

他の人のコメント

コメントはありません。
読み込み中...
読み込み中