二項係数とn乗根

以下の値の求め方を解説してみます。

ここで$$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)\end{array}$$
はnCkを表します

題材は1995年度の東大数学後期第1問です

(1+x)^3n
$$=\sum _{k=0}^{3n}\begin{array}{r}\left(\begin{array}{c}3n\\ k\end{array}\right)\end{array}{x}^k$$
ですから、x=1,ω,ω^2を上式に代入して辺々足すと
$$3An=(1+1{)}^{3n}+(1+\omega {)}^{3n}+(1+{\omega }^2{)}^{3n}=8^n+2Re((1+\omega {)}^{3n})$$
$$(1+\omega {)}^{3n}=(1+\cos \frac{2}{3}\pi +i\sin \frac{2}{3}\pi {)}^{3n}=2\cos \frac{\pi }{3}(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}{)}^{3n}=\cos n\pi +i\sin n\pi$$
より、$$Re((1+\omega {)}^{3n})=\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}1(n:even)\\ -1(n:odd)\end{array}\end{array}$$
$$\therefore An=\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}\frac{1}{3}(8^n+2)(n:even)\\ \frac{1}{3}(8^n-2)(n:odd)\end{array}\end{array}$$
また、(1+1)^3n,ω^2×(1+ω)^3n,ω×(1+ω^2)^3nの辺々足すと
$$3Bn=(1+1{)}^{3n}+{\omega }^2(1+\omega {)}^{3n}+\omega (1+{\omega }^2{)}^{3n}=8^n+2Re({\omega }^2(1+\omega {)}^{3n})$$
$$2Re({\omega }^2(1+\omega {)}^{3n})=2\cos \frac{3n-2}{3}\pi =\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}1(n:odd)\\ -1(n:even)\end{array}\end{array}$$
$$\therefore Bn=\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}\frac{1}{3}(8^n+1)(n:odd)\\ \frac{1}{3}(8^n-1)(n:even)\end{array}\end{array}$$
同様に(1+1)^3n,ω×(1+ω)^3n,ω^2×(1+ω^2)の辺々たすと　
$$\therefore Cn=\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}\frac{1}{3}(8^n+1)(n:odd)\\ \frac{1}{3}(8^n-1)(n:even)\end{array}\end{array}$$
このように$$\sum _{k=}^{}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{pk+q})$$
の形で表される二項係数の和は、modpでの分離を考え、二項定理のxに１のp乗根を代入することにより求めることが可能です。
また、ほかの解法として隣接2項間の連立漸化式などでも解くことが可能です(東大では、こちらの誘導で出していました)
最後にちょっとした応用問題です

この値を求めてみてください
解答は次回