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二項係数とn乗根

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以下の値の求め方を解説してみます。

$$ An=\sum_{k=0}^{n} \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} 3n \\ 3k \end{array} \right) \end{eqnarray} $$
$$Bn=\sum_{k=0}^{n-1} \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} 3n \\ 3k+1 \end{array} \right) \end{eqnarray} $$
$$ Cn=\sum_{k=0}^{n-1} \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} 3n \\ 3k+2 \end{array} \right) \end{eqnarray} $$

ここで$$ \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} n \\ k \end{array} \right) \end{eqnarray} $$
はnCkを表します

題材は1995年度の東大数学後期第1問です

(1+x)^3n
$$ =\sum_{k=0}^{3n} \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} 3n\\ k \end{array} \right) \end{eqnarray}x^{k} $$
ですから、x=1,ω,ω^2を上式に代入して辺々足すと
$$ 3An =(1+1)^{3n} +(1+ \omega ) ^{3n}+(1+ \omega ^{2}) ^{3n} =8^{n} +2Re((1+ \omega ) ^{3n} ) $$
$$ (1+ \omega) ^{3n} =(1+ \cos \frac{2}{3} \pi +i\sin \frac{2}{3} \pi ) ^{3n} =2\cos \frac{ \pi }{3}(\cos \frac{ \pi }{3}+i\sin \frac{ \pi }{3}) ^{3n} = \cos n \pi +i \sin n \pi $$
より、$$ Re((1+ \omega ) ^{3n} )= \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 1 (n:even) \\ - 1(n:odd) \end{array} \right. \end{eqnarray} $$
$$ \therefore An= \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{3}(8 ^{n}+2) ( n:even) \\ \frac{1}{3}(8 ^{n}-2) ( n:odd) \end{array} \right. \end{eqnarray} $$
また、(1+1)^3n,ω^2×(1+ω)^3n,ω×(1+ω^2)^3nの辺々足すと
$$ 3Bn=(1+1)^{3n}+ \omega ^{2}(1+ \omega )^{3n}+ \omega (1+ \omega ^{2})^{3n}=8^{n}+2Re( \omega ^{2}(1+ \omega )^{3n}) $$
$$ 2Re( \omega ^{2}(1+ \omega )^{3n})=2\cos \frac{3n-2}{3} \pi = \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 1(n:odd) \\ -1(n:even) \end{array} \right. \end{eqnarray} $$
$$ \therefore Bn= \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \frac{ 1}{3}(8^{n}+1)(n:odd) \\ \frac{ 1}{3}(8^{n}-1)(n:even) \\ \end{array} \right. \end{eqnarray} $$
同様に(1+1)^3n,ω×(1+ω)^3n,ω^2×(1+ω^2)の辺々たすと 
$$ \therefore Cn= \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{3}(8^{n} +1)(n:odd) \\ \frac{1}{3}(8^{n} -1)(n:even) \end{array} \right. \end{eqnarray} $$
このように$$ \sum_{k=}^{} \binom{n}{pk+q} $$
の形で表される二項係数の和は、modpでの分離を考え、二項定理のxに1のp乗根を代入することにより求めることが可能です。
また、ほかの解法として隣接2項間の連立漸化式などでも解くことが可能です(東大では、こちらの誘導で出していました)
最後にちょっとした応用問題です

$$ \sum_{k=1}^{n} \binom{3n}{3k-1} 2^{k} $$

この値を求めてみてください
解答は次回

投稿日:202116

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高3らしいです

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