一般ディリクレ級数の収束軸と応用例
はじめに
この記事では一般ディリクレ級数と呼ばれる級数の収束軸の公式の証明とその公式のうれしさを紹介していきます。
複素数列$\{a_n\}^\infty_{n=1}$と非有界狭義単調増加列$\{\la_n\}^\infty_{n=1}$(つまり$\dis\lim_{n\to\infty}\la_n=\infty$)と複素数$s$に対して
$$\sum^\infty_{n=1}a_ne^{-\la_ns}$$
と表される級数を一般ディリクレ級数と言う。
例えば通常のディリクレ級数
$$\sum^\infty_{n=1}\frac{a_n}{n^s}$$
はこの$\la_n=\log n$の場合であり、冪級数
$$\sum^\infty_{n=0}a_nx^n$$
はこの$\la_n=n,s=\log x$の場合となっています。
そして一般ディリクレ級数の収束性は以下の公式によって記述することができます。
\begin{align}
\s_c&=\limsup_{n\to\infty}\frac{\log|\sum^n_{k=1}a_k|}{\la_n}
&\l(\sum^\infty_{n=1}a_n\ \mbox{が発散するとき}\r)\\
\s_c&=\limsup_{n\to\infty}\frac{\log|\sum^\infty_{k=n}a_k|}{\la_n}
&\l(\sum^\infty_{n=1}a_n\ \mbox{が収束するとき}\r)
\end{align}
とおくと、一般ディリクレ級数は$\Re(s)>\s_c$において収束し、$\Re(s)<\s_c$において発散する。
ただし$\Re(s)=\s_c$における収束性は一般ディリクレ級数の取り方と$\mathrm{Im}(s)$の値によって収束したりしなかったりするため一般には議論できません。
また$|a_ne^{-s\la_n}|=|a_n|e^{-\Re(s)\la_n}$より一般ディリクレ級数の絶対収束性と$\sum^\infty_{n=1}|a_n|e^{-\Re(s)\la_n}$の収束性が一致することに注意すると以下のことが言えます。
\begin{align}
\s_a&=\limsup_{n\to\infty}\frac{\log\sum^n_{k=1}|a_k|}{\la_n}
&\l(\sum^\infty_{n=1}|a_n|\ \mbox{が発散するとき}\r)\\
\s_a&=\limsup_{n\to\infty}\frac{\log\sum^\infty_{k=n}|a_k|}{\la_n}
&\l(\sum^\infty_{n=1}|a_n|\ \mbox{が収束するとき}\r)
\end{align}
とおくと、一般ディリクレ級数は$\Re(s)>\s_a$において絶対収束し、$\Re(s)<\s_a$において絶対収束しない。
さらに収束軸$\s_c$と絶対収束軸$\s_a$の間には以下のような関係が成り立ちます。
$$0\leq\s_a-\s_c\leq\limsup_{n\to\infty}\frac{\log n}{\la_n}$$
補題
列$\{b_n\},\{c_n\}$に対し
$$B_n=\sum_{k=1}^nb_k,\quad B'_n=\sum^\infty_{k=n}b_k$$
とおくと
\begin{eqnarray}\sum^n_{k=1}b_kc_k
&=&B_nc_n+\sum^{n-1}_{k=1}B_k(c_k-c_{k+1})
\\&=&-B'_{n+1}c_{n+1}+B'_1c_1-\sum^{n+1}_{k=2}B'_k(c_{k-1}-c_k)
\end{eqnarray}
が成り立つ。
$b_k=B_k-B_{k-1}=B'_k-B'_{k+1}$に注意すると
\begin{align}
\sum^n_{k=1}b_kc_k
&=\sum^n_{k=2}(B_k-B_{k-1})c_k=\sum^n_{k=1}B_kc_k-\sum^{n-1}_{k=1}B_kc_{k+1}\\
&=\sum^n_{k=1}(B'_k-B'_{k+1})c_k=\sum^n_{k=1}B'_kc_k-\sum^{n+1}_{k=2}B'_kc_{k-1}
\end{align}
と変形できることからわかる。
以下簡単のため
$$s_n=\sum^n_{k=1}a_k,\quad r_n=\sum^\infty_{k=n}a_k$$
とおく。
収束軸の存在性
まずある軸$\Re(s)=\s_c$を境に収束・発散が分かれることを示す。それには以下の主張を示せば十分である。
一般ディリクレ級数が$s=s_0$で収束するとき、$\Re(s)>\Re(s_0)$においても収束する。
$a_ne^{-\la_ns_0}$を改めて$a_n$とおくことで$s=0$で収束するものとしてよい。このとき$|s_n|=|\sum^n_{k=1}a_k|$は有界となるので、その上界を$S$とおく。
いま$s=\sigma+it$とおくと
$$|e^{-\la_ns}-e^{-\la_{n+1}s}|=\left|s\int^{\la_{n+1}}_{\la_n}e^{-xs}dx\right|\leq|s|\int^{\la_{n+1}}_{\la_n}e^{-x\s}dx$$
と評価できるので$\s>0$において
\begin{eqnarray}\left|\sum^N_{n=M+1}a_ne^{-\la_ns}\right|
&=&\left|s_Ne^{-\la_ns}-s_Me^{-\la_Ms}+\sum^{N-1}_{n=M}s_n(e^{-\la_ns}-e^{-\la_{n+1}s})\right|
\\&=&S(e^{-\la_n\s}+e^{-\la_M\s}+|s|\int^{\la_n}_{\la_M}e^{-x\s}dx)\to0\quad(as\;N,M\to\infty)
\end{eqnarray}
とコーシー性がわかるので主張を得る。
証明
一般ディリクレ級数の収束軸を$\s_c$とおいたとき
\begin{align}
\s_c&=\limsup_{n\to\infty}\frac{\log|\sum^n_{k=1}a_k|}{\la_n}
&\l(\sum^\infty_{n=1}a_n\ \mbox{が発散するとき}\r)\\
\s_c&=\limsup_{n\to\infty}\frac{\log|\sum^\infty_{k=n}a_k|}{\la_n}
&\l(\sum^\infty_{n=1}a_n\ \mbox{が収束するとき}\r)
\end{align}
が成り立つ。
$\sum^\infty_{n=1}a_n$が発散するとき
$$\s_0=\limsup_{n\to\infty}\frac{\log|s_n|}{\la_n}$$
とおくと$\s_0=\s_c$となることを$\s_0\leq\s_c$と$\s_0\geq\s_c$の二つの主張に分けて示す。
$s=0$において発散することから$\s_c\geq0$に注意する。
いま任意に$\s>\s_c\geq0$を取ると$\s_c$の取り方から$\sum^\infty_{n=1}a_ne^{-\la_n\s}$は収束する、つまり$|t_n|=|\sum^n_{k=1}a_ke^{-\la_k\s}|$は有界なのでその上界を$T$とおくと
\begin{align}|s_n|
&=\l|\sum^n_{k=1}a_ke^{-\la_k\sigma}\cdot e^{\la_k\sigma}\r|\\
&=\l|t_ne^{\la_n\sigma}-\sum^{n-1}_{k=1}t_k(e^{\la_k\sigma}-e^{\la_{k+1}\sigma})\r|\\
&\leq T(e^{\la_n\s}+\sum^{n-1}_{k=1}(e^{\la_{k+1}\sigma}-e^{\la_k\sigma}))=T(2e^{\la_n\s}-e^{\la_1\s})
\end{align}
つまり
$$\frac{\log|s_n|}{\la_n}\leq\s+\frac{\log2S}{\la_n}$$
となりこの$n\to\infty$極限を取ることで$\s_0\leq\s$を得、$\s>\s_c$は任意であったので結局$\s_0\leq\s_c$を得る。
任意に$\s>\s_0,\ 0<\e<\s-\s_0$を取ると、$\s_0$の取り方から十分大きい任意の$n$に対して$$\frac{\log|s_n|}{\la_n}<\s-\e$$
つまり$|s_n|< e^{\la_n(\s-\e)}$と評価でき、また$\la_n< x<\la_{n+1}$について
$$\la_n(\sigma-\e)-x\sigma=(\la_n-x)(\sigma-\e)-\e x<-\e x$$
に注意すると$s=\s+it$において
\begin{align}
\l|\sum^N_{n=M+1}a_ne^{-\la_ns}\r|
&=\l|s_Ne^{-\la_ns}-s_Me^{-\la_Ms}-\sum^{N-1}_{n=M}s_n(e^{-\la_ns}-e^{-\la_{n+1}s})\r|\\
&< e^{\la_n(\s-\e)}\c e^{-\la_n\s}+e^{\la_M(\s-\e)}\c e^{-\la_M\s}+|s|\sum^{N-1}_{n=M}e^{\la_n(\s{-}\e)}\c\int^{\la_{n+1}}_{\la_n}e^{-x\s}dx\\
&< e^{-\la_n\e}+e^{-\la_M\e}+|s|\int^{\la_n}_{\la_M}e^{-\e x}dx\to0\qquad(as\;N,M\to\infty)
\end{align}
とコーシー性がわかり$\s>\s_c$を得、$\s>\s_0$は任意であったので結局$\s_0\geq\s_c$を得る。
$\sum^\infty_{n=1}a_n$が収束するとき
$$\s_0=\limsup_{n\to\infty}\frac{\log|r_n|}{\la_n}$$
とおいて、あとはほぼ上と同様に$\s_0=\s_c$を示すので細かい説明は省略する。
($\s_c=0$のときは$\s_0$の定義から$\s_0\leq0=\s_c$がわかるので$\s_c<0$とする。)
任意の$\s_c<\s<0$に対し
$$t_n=\sum^{\infty}_{k=n}a_ke^{-\la_k\s}$$
とおくと
$$|r_n|
=\l|t_ne^{\la_n\s}
+\sum^{\infty}_{k=n+1}t_k(e^{\la_{k-1}\s}-e^{\la_k\s})\r|\leq2Te^{\la_n\s}$$
より$\s_0\leq\s$ひいては$\s_0\leq\s_c$を得る。
($\s_0=0$のときは$s=0$における収束性から$\s_c\leq0=\s_0$がわかるので$\s_0<0$とする。)
任意の$\s_0<\s<0,\ 0<\e<\s-\s_0$に対し$s=\s+it$とおくと
\begin{align}
\l|\sum^{N-1}_{n=M}a_ne^{-\la_ns}\r|
&=\l|r_Ne^{-\la_ns}-r_Me^{-\la_Ms}+\sum^{N}_{n=M+1}r_n(e^{-\la_{n-1}s}-e^{-\la_ns})\r|\\
&< e^{-\la_N\e}+e^{-\la_M\e}+|s|\int^{\la_N}_{\la_M}e^{-\e x}dx\to0\quad(as\;N,M\to\infty)
\end{align}
より$\s>\s_c$ひいては$\s_0\geq\s_c$を得る。
$\s_a-\s_c$の評価
一般ディリクレ級数の収束軸、絶対収束軸をそれぞれ$\s_c,\s_a$とおくと
$$0\leq\s_a-\s_c\leq\limsup_{n\to\infty}\frac{\log n}{\la_n}$$
が成り立つ。
適当な$\s<\s_c$に対し$a_ne^{-\la_n\s}$を改めて$a_n$と置くことで$0<\s_c$であるものとしてよい。
このとき任意の$\e>0$にある$N$が存在して、任意の$n\geq N$に対し
$$\frac{\log|s_n|}{\la_n}\leq\s_c+\e$$
つまり$|s_n|\leq e^{\la_n(\s_c+\e)}$が成り立つので
$$|a_n|=|s_n-s_{n-1}|\leq|s_n|+|s_{n-1}|\leq2e^{\la_n(\s_c+\e)}$$
と評価できる。
また$N$に対し$n$を十分大きく取って
$$\sum^N_{k=1}|a_k|\leq 2Ne^{\la_n(\s_c+\e)}$$
とすると、
\begin{align}
\sum^n_{k=1}|a_k|
&=\sum_{k=1}^N|a_k|+\sum_{k=N+1}^n|a_k|\\
&\leq2Ne^{\la_n(\s_c+\e)}+(n-N)\c2e^{\la_n(\s_c+\e)}=2ne^{\la_n(\s_c+\e)}
\end{align}
と評価できるので
\begin{align}
\s_a&=\limsup_{n\to\infty}\frac{\log\sum^n_{k=1}|a_k|}{\la_n}\\
&\leq\limsup_{n\to\infty}\l(\frac{\log2}{\la_n}+\frac{\log n}{\la_n}+\s_c+\e\r)\\
&=\limsup_{n\to\infty}\frac{\log n}{\la_n}+\s_c+\e
\end{align}
がわかり、$\e>0$は任意であったので明らかに$\s_c\leq\s_a$であることと合わせて
$$0\leq\s_a-\s_c\leq\limsup_{n\to\infty}\frac{\log n}{\la_n}$$
を得る。
応用例
$0$に収束する単調減少列$\{a_n\}$と$\{\sum^n_{k=1}b_k\}$が有界なる複素数列$\{b_n\}$について、
$$\sum^\infty_{n=1}a_nb_n$$
は収束する。
仮定より$\la_n=-\log a_n$は単調増加列となるのでディリクレ級数
$$\sum^\infty_{n=1}(a_n)^sb_n=\sum^\infty_{n=1}b_ne^{-\la_ns}$$
を考えることができ、これが$s=1$において収束する、特に$\s_c<1$であることを示せばよい。
そのことは$\sum^\infty_{k=1}b_k$が収束するときは自明に$\s_c\leq0$であって、発散するときは$|\sum^n_{k=1}b_k|$の上界を$K$とおくと
$$\s_c=\limsup_{n\to\infty}\frac{\log|\sum^n_{k=1}b_k|}{\la_n}\leq\lim_{n\to\infty}\frac{\log K}{\la_n}=0$$
であることからわかる。
冪級数
$$\sum^\infty_{n=0}a_nz^n$$
の収束円内における収束性と絶対収束性は一致する。(ただし収束円周上ではその限りではない。)
冪級数は一般ディリクレ級数において$\la_n=n,s=-\log z$としたものであったので
$$0\leq \s_a-\s_c\leq\limsup_{n\to\infty}\frac{\log n}{n}=0$$
つまり$\s_c=\s_a$なので収束性と絶対収束性が一致することになる。
ちなみに冪級数の収束半径$R$は
$$\Re(s)=-\log|z|>\s_c\iff|z|< e^{-\s_c}$$
より$R=e^{-\s_c}=e^{-\s_a}$、つまり
$R^{-1}=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\sum^n_{k=0}|a_k|}$
または
$R^{-1}=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\sum^\infty_{k=n}|a_k|}$
と表せますが、これはコーシーの冪根判定法
$R^{-1}=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}$
よりも弱いので実用性はありません。
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