一般ディリクレ級数の収束軸と応用例

　$b_k=B_k-B_{k-1}=B_k^{\prime }-B_{k+1}^{\prime }$に注意すると
$$\begin{array}{rl}\sum _{k=1}^n{b}_k{c}_k& =\sum _{k=2}^n(B_k-B_{k-1})c_k=\sum _{k=1}^n{B}_k{c}_k-\sum _{k=1}^{n-1}{B}_k{c}_{k+1}\\ & =\sum _{k=1}^n(B_k^{\prime }-B_{k+1}^{\prime })c_k=\sum _{k=1}^n{B}_k^{\prime }{c}_k-\sum _{k=2}^{n+1}{B}_k^{\prime }{c}_{k-1}\end{array}$$
と変形できることからわかる。

　$a_n{e}^{-{\lambda }_n{s}_0}$を改めて$a_n$とおくことで$s=0$で収束するものとしてよい。このとき$|s_n|=|\sum _{k=1}^n{a}_k|$は有界となるので、その上界を$S$とおく。
　いま$s=\sigma +it$とおくと
$$|e^{-{\lambda }_{n}s}-e^{-{\lambda }_{n+1}s}|=\left|s{\int }_{{\lambda }_n}^{{\lambda }_{n+1}}{e}^{-xs}dx\right|\le |s|{\int }_{{\lambda }_n}^{{\lambda }_{n+1}}{e}^{-x\sigma }dx$$
と評価できるので$\sigma >0$において
$$\begin{array}{rcl}\left|\sum _{n=M+1}^N{a}_n{e}^{-{\lambda }_{n}s}\right|& =& |s_N{e}^{-{\lambda }_{n}s}-s_M{e}^{-{\lambda }_{M}s}+\sum _{n=M}^{N-1}{s}_n(e^{-{\lambda }_{n}s}-e^{-{\lambda }_{n+1}s})|\\ & =& S(e^{-{\lambda }_n\sigma }+e^{-{\lambda }_M\sigma }+|s|{\int }_{{\lambda }_M}^{{\lambda }_n}{e}^{-x\sigma }dx)\to 0(asN,M\to \mathrm{\infty })\end{array}$$
とコーシー性がわかるので主張を得る。

　$s=0$において発散することから${\sigma }_c\ge 0$に注意する。
　いま任意に$\sigma >{\sigma }_c\ge 0$を取ると${\sigma }_c$の取り方から$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{e}^{-{\lambda }_n\sigma }$は収束する、つまり$|t_n|=|\sum _{k=1}^n{a}_k{e}^{-{\lambda }_k\sigma }|$は有界なのでその上界を$T$とおくと
$$\begin{array}{rl}|s_n|& =|\sum _{k=1}^n{a}_k{e}^{-{\lambda }_k\sigma }\cdot e^{{\lambda }_k\sigma }|\\ & =|t_n{e}^{{\lambda }_n\sigma }-\sum _{k=1}^{n-1}{t}_k(e^{{\lambda }_k\sigma }-e^{{\lambda }_{k+1}\sigma })|\\ & \le T(e^{{\lambda }_n\sigma }+\sum _{k=1}^{n-1}(e^{{\lambda }_{k+1}\sigma }-e^{{\lambda }_k\sigma }))=T(2e^{{\lambda }_n\sigma }-e^{{\lambda }_1\sigma })\end{array}$$
つまり
$$\frac{\log |s_n|}{{\lambda }_n}\le \sigma +\frac{\log 2S}{{\lambda }_n}$$
となりこの$n\to \mathrm{\infty }$極限を取ることで${\sigma }_0\le \sigma$を得、$\sigma >{\sigma }_c$は任意であったので結局${\sigma }_0\le {\sigma }_c$を得る。

　任意に$\sigma >{\sigma }_0,0<\epsilon <\sigma -{\sigma }_0$を取ると、${\sigma }_0$の取り方から十分大きい任意の$n$に対して$$\frac{\log |s_n|}{{\lambda }_n}<\sigma -\epsilon$$
つまり$|s_n|<e^{{\lambda }_n(\sigma -\epsilon )}$と評価でき、また${\lambda }_n<x<{\lambda }_{n+1}$について
$${\lambda }_n(\sigma -\epsilon )-x\sigma =({\lambda }_n-x)(\sigma -\epsilon )-\epsilon x<-\epsilon x$$
に注意すると$s=\sigma +it$において
$$\begin{array}{rl}\left|\sum _{n=M+1}^N{a}_n{e}^{-{\lambda }_{n}s}\right|& =|s_N{e}^{-{\lambda }_{n}s}-s_M{e}^{-{\lambda }_{M}s}-\sum _{n=M}^{N-1}{s}_n(e^{-{\lambda }_{n}s}-e^{-{\lambda }_{n+1}s})|\\ & <e^{{\lambda }_n(\sigma -\epsilon )}\cdot e^{-{\lambda }_n\sigma }+e^{{\lambda }_M(\sigma -\epsilon )}\cdot e^{-{\lambda }_M\sigma }+|s|\sum _{n=M}^{N-1}{e}^{{\lambda }_n(\sigma -\epsilon )}\cdot {\int }_{{\lambda }_n}^{{\lambda }_{n+1}}{e}^{-x\sigma }dx\\ & <e^{-{\lambda }_n\epsilon }+e^{-{\lambda }_M\epsilon }+|s|{\int }_{{\lambda }_M}^{{\lambda }_n}{e}^{-\epsilon x}dx\to 0(asN,M\to \mathrm{\infty })\end{array}$$
とコーシー性がわかり$\sigma >{\sigma }_c$を得、$\sigma >{\sigma }_0$は任意であったので結局${\sigma }_0\ge {\sigma }_c$を得る。

　(${\sigma }_c=0$のときは${\sigma }_0$の定義から${\sigma }_0\le 0={\sigma }_c$がわかるので${\sigma }_c<0$とする。)
　任意の${\sigma }_c<\sigma <0$に対し
$$t_n=\sum _{k=n}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{e}^{-{\lambda }_k\sigma }$$
とおくと
$$|r_n|=|t_n{e}^{{\lambda }_n\sigma }+\sum _{k=n+1}^{\mathrm{\infty }}{t}_k(e^{{\lambda }_{k-1}\sigma }-e^{{\lambda }_k\sigma })|\le 2T{e}^{{\lambda }_n\sigma }$$
より${\sigma }_0\le \sigma$ひいては${\sigma }_0\le {\sigma }_c$を得る。

　(${\sigma }_0=0$のときは$s=0$における収束性から${\sigma }_c\le 0={\sigma }_0$がわかるので${\sigma }_0<0$とする。)
　任意の${\sigma }_0<\sigma <0,0<\epsilon <\sigma -{\sigma }_0$に対し$s=\sigma +it$とおくと
$$\begin{array}{rl}\left|\sum _{n=M}^{N-1}{a}_n{e}^{-{\lambda }_{n}s}\right|& =|r_N{e}^{-{\lambda }_{n}s}-r_M{e}^{-{\lambda }_{M}s}+\sum _{n=M+1}^N{r}_n(e^{-{\lambda }_{n-1}s}-e^{-{\lambda }_{n}s})|\\ & <e^{-{\lambda }_N\epsilon }+e^{-{\lambda }_M\epsilon }+|s|{\int }_{{\lambda }_M}^{{\lambda }_N}{e}^{-\epsilon x}dx\to 0(asN,M\to \mathrm{\infty })\end{array}$$
より$\sigma >{\sigma }_c$ひいては${\sigma }_0\ge {\sigma }_c$を得る。

　適当な$\sigma <{\sigma }_c$に対し$a_n{e}^{-{\lambda }_n\sigma }$を改めて$a_n$と置くことで$0<{\sigma }_c$であるものとしてよい。
　このとき任意の$\epsilon >0$にある$N$が存在して、任意の$n\ge N$に対し
$$\frac{\log |s_n|}{{\lambda }_n}\le {\sigma }_c+\epsilon$$
つまり$|s_n|\le e^{{\lambda }_n({\sigma }_c+\epsilon )}$が成り立つので
$$|a_n|=|s_n-s_{n-1}|\le |s_n|+|s_{n-1}|\le 2e^{{\lambda }_n({\sigma }_c+\epsilon )}$$
と評価できる。　
　また$N$に対し$n$を十分大きく取って
$$\sum _{k=1}^N|a_k|\le 2N{e}^{{\lambda }_n({\sigma }_c+\epsilon )}$$
とすると、
$$\begin{array}{rl}\sum _{k=1}^n|a_k|& =\sum _{k=1}^N|a_k|+\sum _{k=N+1}^n|a_k|\\ & \le 2N{e}^{{\lambda }_n({\sigma }_c+\epsilon )}+(n-N)\cdot 2e^{{\lambda }_n({\sigma }_c+\epsilon )}=2n{e}^{{\lambda }_n({\sigma }_c+\epsilon )}\end{array}$$
と評価できるので
$$\begin{array}{rl}{\sigma }_a& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim sup}\frac{\log \sum _{k=1}^n|a_k|}{{\lambda }_n}\\ & \le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim sup}(\frac{\log 2}{{\lambda }_n}+\frac{\log n}{{\lambda }_n}+{\sigma }_c+\epsilon )\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim sup}\frac{\log n}{{\lambda }_n}+{\sigma }_c+\epsilon \end{array}$$
がわかり、$\epsilon >0$は任意であったので明らかに${\sigma }_c\le {\sigma }_a$であることと合わせて
$$0\le {\sigma }_a-{\sigma }_c\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim sup}\frac{\log n}{{\lambda }_n}$$
を得る。

　仮定より${\lambda }_n=-\log a_n$は単調増加列となるのでディリクレ級数
$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n{)}^s{b}_n=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n{e}^{-{\lambda }_{n}s}$$
を考えることができ、これが$s=1$において収束する、特に${\sigma }_c<1$であることを示せばよい。
　そのことは$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_k$が収束するときは自明に${\sigma }_c\le 0$であって、発散するときは$|\sum _{k=1}^n{b}_k|$の上界を$K$とおくと
$${\sigma }_c=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim sup}\frac{\log |\sum _{k=1}^n{b}_k|}{{\lambda }_n}\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\log K}{{\lambda }_n}=0$$
であることからわかる。

　冪級数は一般ディリクレ級数において${\lambda }_n=n,s=-\log z$としたものであったので
$$0\le {\sigma }_a-{\sigma }_c\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim sup}\frac{\log n}{n}=0$$
つまり${\sigma }_c={\sigma }_a$なので収束性と絶対収束性が一致することになる。