マスターデーモン

$2^n+1$は常に奇数なので,仮定を満たすような$n$は偶数ではない.
$$\frac{2^{3n}+1}{3n}=\frac{(2^n+1)(4^n-2^n+1)}{3n}=\frac{2^n+1}{n}\times \frac{4^n-2^n+1}{3}$$
$n$が奇数のとき,$4^n-2^n+1\equiv 0(\mathrm{mod}3)$より
$$\frac{2^{3n}+1}{3n}$$
も整数である.

$2^n+1\equiv 0(\mathrm{mod}n)$とする.
$n$を$3$以上の奇数とする.
$n$の素因数のうち最小の素数を$p$として$n=pm$とおく.
$2^{pm}+1\equiv 0(\mathrm{mod}p)$
Fermatの小定理より,$2^{mp}\equiv 2^m(\mathrm{mod}p)$
よって
$2^m\equiv -1(\mathrm{mod}p)$
$2^{2m}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$
$\mathrm{mod}p$での$2$の位数を$k$とする.
すなわち$k$を$2^k\equiv 1(\mathrm{mod}p)$を満たす最小の正の整数とする.
$k$は$2m$および$p-1$の約数である.
$k$が奇数と仮定すると,$m$は奇数なので,$k$は$m$の約数である.すると,
$2^m\equiv (2^k{)}^{\frac{m}{k}}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$となり矛盾する.
よって$k$は偶数であり,$k=2d$とおくと$d$は$m$の約数である.
$k$は$p-1$の約数なので$p$より小さく,$d=\frac{k}{2}$もまた$p$より小さい.
$n$の素因数のうち最小の素数を$p$として$n=pm$とおいたので,$m$の素因数は$p$以上である.
したがって$d=1$となるので,$2^2\equiv 1(\mathrm{mod}p)$より$p=3$

$$\frac{2^{3p}+1}{3p}=\frac{(2^p+1)(4^p-2^p+1)}{3p}$$
奇素数$p$について,Fermatの小定理により,$4^p\equiv 4(\mathrm{mod}p)$,$2^p\equiv 2(\mathrm{mod}p)$より,$4^p-2^p+1\equiv 3(\mathrm{mod}p)$である.
$p$が$4^p-2^p+1$の素因数ならば,$p=3$である.
$p$が$2^p+1$の素因数ならば,$p=3$である.

$$\frac{2^{9p}+1}{9p}=\frac{(2^p+1)(4^p-2^p+1)(4^{3p}-2^{3p}+1)}{9p}$$
Fermatの小定理より,$4^{3p}-2^{3p}+1\equiv 64-8+1=57(\mathrm{mod}p)$
$p=3,19$

まず、$p$が奇素数の場合を考える。
$a$が$3$以上のとき、$(a^n-1{)}_p=(a-1{)}_p+(n{)}_p$より、$(n{)}_p$は正の値をとる。
$A=a^{\frac{n}{p}}$とおくと、$A^p-1=p^m$となるので、$(A^p-1{)}_p=(A-1{)}_p+(p{)}_p$より、$A-1=p^{m-1}$となる。よって、$A^{p-1}+\cdots +A+1=p$となるが、これは矛盾である。なぜなら、$A$は$3$以上なので左辺は$p$を超える。
$a=2$のとき、$p^m-1=2^n-2$となるので、$m$は奇数である。
なぜなら、$m$が偶数だと、$p^m-1=(p-1)(p^{m-1}+\cdots +1)$と因数分解すると、$2^n-2$が$4$の倍数ということになり矛盾が生じる。
$m$が奇数なら、$p^m+1=(p+1)(p^{m-1}+\cdots +1)$と因数分解できる。
${\displaystyle \frac{p^m+1}{p+1}}$は奇数となるので、$p^m+1=2^n$が成り立つためには、$m=1$でなければならない。$m$は$2$以上としているので、この場合は解がない。
 次に$p=2$とする。$a^n-1=2^m$より$a$は奇数である。
${\displaystyle \frac{a^n-1}{a-1}}$が偶数となるので、$n$は偶数でなければならない。
$a^{\frac{n}{2}}=b$とおくと、$b^2-1=2^m$となる。
このような式が成立するのは、$3^2-1=2^3$のみである。