普段からモノイダル圏が前提の世界に生きていると基本的な命題すら証明できなくて焦ることになります(なりました)。備えておきましょう。
図式のレイアウトなどについて、本稿はこの命題を初めて証明したMax Kellyの論文[1]に大いに基づいて構成されています。
モノイダル圏
の組で、次の2つの図式を可換にするもの。
モノイダル圏
次の図式を考える。このうち、
従って
モノイダル圏
先ほどの図式の左右を全て入れ替えればよい。
モノイダル圏
ここで、
次に、命題1およびモノイダル圏の公理から次の2つの図式が可換となる。
モノイダル圏などにはコヒーレンス定理が成り立つので、モノイダル圏が前提の世界では本稿に書かれていたたくさんの括弧はすべてないものとして扱ってよい(どの順番で計算しようがすべて同値)のですが、本稿の2つの性質はそのコヒーレンス定理の証明にも使われるほど基本中の基本となる性質です。備えておきましょう(自戒)。