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積分解説03

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$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

2020/11/01に出題した問題です。
https://twitter.com/sounansya_29/status/1322861591889547267?s=21

$$\displaystyle \int_0^\frac\pi2 e^{-\frac\pi2\tan x}dx$$

[解説]
$ \begin{eqnarray*} &&\int_0^\frac\pi2 e^{-\frac\pi2\tan x}dx\\ &=&\int_0^\infty \frac{e^{-\frac\pi2t}}{1+t^2}dt&\left(t=\tan x\right)\\ &=&\int_0^\infty e^{-\frac\pi2t}\int_0^\infty e^{-ut}\sin ududt\\ &=&\int_0^\infty \sin u\int_0^\infty e^{-(u+\frac\pi2)t}dtdu\\ &=&\int_0^\infty \sin u \left[-\frac1{u+\frac\pi2}e^{-(u+\frac\pi2)t} \right]_0^\infty du\\ &=&\int_0^\infty \frac{\sin u}{u+\frac\pi2}du\\ &=&-\int_\frac\pi2^\infty \frac{\cos v}vdv&\left(v=u+\frac\pi2\right)\\ &=&\text{Ci}\left(\frac\pi2\right) \end{eqnarray*} $
よって、この問題の解答は$\displaystyle \text{Ci}\left(\frac\pi2\right)$となります。

投稿日:2020117

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投稿者

神鳥奈紗
神鳥奈紗
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遭難者です.高専1年です.MZV,級数,積分をメインにやっています.

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