積分解説03
2020/11/01に出題した問題です。
https://twitter.com/sounansya_29/status/1322861591889547267?s=21
$$\displaystyle \int_0^\frac\pi2 e^{-\frac\pi2\tan x}dx$$
[解説]
$
\begin{eqnarray*}
&&\int_0^\frac\pi2 e^{-\frac\pi2\tan x}dx\\
&=&\int_0^\infty \frac{e^{-\frac\pi2t}}{1+t^2}dt&\left(t=\tan x\right)\\
&=&\int_0^\infty e^{-\frac\pi2t}\int_0^\infty e^{-ut}\sin ududt\\
&=&\int_0^\infty \sin u\int_0^\infty e^{-(u+\frac\pi2)t}dtdu\\
&=&\int_0^\infty \sin u \left[-\frac1{u+\frac\pi2}e^{-(u+\frac\pi2)t} \right]_0^\infty du\\
&=&\int_0^\infty \frac{\sin u}{u+\frac\pi2}du\\
&=&-\int_\frac\pi2^\infty \frac{\cos v}vdv&\left(v=u+\frac\pi2\right)\\
&=&\text{Ci}\left(\frac\pi2\right)
\end{eqnarray*}
$
よって、この問題の解答は$\displaystyle \text{Ci}\left(\frac\pi2\right)$となります。