3分でわかる！3:4:5の三角形の鋭角をx°としたらxは無理数

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$ｘ^{\circ}$
初投稿です
今回考えるのあの有名な３：４：５の直角三角形の鋭角について考えようと思います。あの角度は一見無理数にみえますが実際はどうでしょうか？？？
まずは弧度法で考えます

$\sin α ＝ \frac{４}{５} （０ \leq α \leq \frac{π}{２} ）とする。このとき \frac{α}{π} が有理数か無理数かどうかを$
調べます。まず有理数と仮定してα＝ $\frac{ｑ}{ｐ} π$ （ｐ、ｑは自然数）とおきます。
そうすると $（ \cos α ＋ i \sin α ）^{ｐ}$ ＝ $\cos$ q $π$ ＋i $\sin$ q $π$ =±１となります。
無理数だったら $（ \cos α ＋ i \sin α)^{n}$ =±１となる自然数ｎが存在しません。
つまり( $\frac{3}{5} ＋ \frac{4}{5} i)^{n}$ が実数にならないので
$（３＋ 4 i ）^{n} が実数になりません。このことを示していきたいと思います。$

$(3 ＋ 4 i ）^{n} は 3 ＋ 4 i が二次方程式 ⅹ^{２} －６ｘ＋２５＝ 0 の解になることを利用すると三項$
間漸化式 $a_{ｎ＋２} ＝６ a_{ｎ＋１} －２５ a_{ｎ} a_{１} ＝３＋４ i a_{２} ＝－７＋２４ i$
の一般項となります。
$I m (a_{n}) について考えると（ I m は虚部を表わす記号）$
$I m (a_{ｎ＋２} ）＝６ I m (a_{ｎ＋１} ）－２５ I m （ a_{ｎ} ）$
となります。 $I m (a_{２} ）＝２４ I m (a_{１} ）＝４なので$
mod5について考えると数学的帰納法で $I m (a_{ｎ} ） \equiv 0 (m o d 5) とはならないことが分かる$
$ゆえに I m （ a_{ｎ} ） \neq ０となるので a_{ｎ} は実数にならない$
$◻$

よって $\frac{α}{π}$ は無理数です。
なので３：４：５の三角形の鋭角の大きいほうを $ｘ^{\circ} とするとｘ＝ \frac{３６０ α}{２ π} ＝１８０ \times \frac{α}{π} なので x は無理数となります$

投稿日：2021年1月7日

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投稿者

空集合

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とりあえず垢作ったよ

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