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3分でわかる!3:4:5の三角形の鋭角をx°としたらxは無理数

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$$ x^{\circ} $$
初投稿です
今回考えるのあの有名な3:4:5の直角三角形の鋭角について考えようと思います。あの角度は一見無理数にみえますが実際はどうでしょうか???
まずは弧度法で考えます

$$ \sinα= \frac{4}{5} (0 \leq α \leq \frac{ \pi}{2})とする。 このとき \frac{α}{ \pi}が有理数か無理数かどうかを $$
調べます。まず有理数と仮定してα=$ \frac{q}{p} \pi$(p、qは自然数)とおきます。
そうすると$ ( \cosα+i \sinα)^{p} $$ \cos $q$ \pi $+i$ \sin $q$ \pi $=±1となります。
無理数だったら$ ( \cosα+ i\sinα)^{n} $=±1となる自然数nが存在しません。
つまり($ \frac{3}{5}+ \frac{4}{5}i)^{n} $が実数にならないので
$$ (3+4i)^{n}が実数になりません。このことを示していきたいと思います。 $$

$$ (3+4i)^{n}は3+4iが二次方程式 ⅹ^{2}-6x+25=0の解になることを利用すると三項 $$
間漸化式$$ a_{n+2} = 6a_{n+1} -25 a_{n}  a_{1} = 3+4i  a_{2} =-7+24i $$
の一般項となります。
$$ Im( a_{n} )について考えると(Imは虚部を表わす記号) $$
$$ Im( a_{n+2} )=6Im( a_{n+1} )-25Im( a_{n}) $$
となります。$$ Im( a_{2} )=24 Im( a_{1} )=4 なので $$
mod5について考えると数学的帰納法で$$ Im( a_{n}) \equiv 0(mod5)とはならないことが分かる $$
$$ ゆえにIm( a_{n} ) \neq 0となるので a_{n} は実数にならない $$
$$ \Box $$

よって$ \frac{α}{ \pi} $は無理数です。
なので3:4:5の三角形の鋭角の大きいほうを$$ x^{\circ} とするとx= \frac{360α}{2 \pi}=180× \frac{α}{ \pi}なのでxは無理数となります $$

投稿日:202117

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投稿者

とりあえず垢作ったよ

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