3分でわかる！3:4:5の三角形の鋭角をx°としたらxは無理数
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ｘ^{\circ}
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初投稿です
今回考えるのあの有名な３：４：５の直角三角形の鋭角について考えようと思います。あの角度は一見無理数にみえますが実際はどうでしょうか？？？
まずは弧度法で考えます
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\sinα＝ \frac{４}{５} （０ \leq α \leq \frac{ \pi}{２}）とする。
このとき \frac{α}{ \pi}が有理数か無理数かどうかを
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調べます。まず有理数と仮定してα＝$ \frac{ｑ}{ｐ} \pi$（ｐ、ｑは自然数）とおきます。
そうすると$ （ \cosα＋i \sinα）^{ｐ} $＝$ \cos $q$ \pi $＋i$ \sin $q$ \pi $=±１となります。
無理数だったら$ （ \cosα＋ i\sinα)^{n} $=±１となる自然数ｎが存在しません。
つまり($ \frac{3}{5}＋ \frac{4}{5}i)^{n} $が実数にならないので
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（３＋4i）^{n}が実数になりません。このことを示していきたいと思います。
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(3＋4i）^{n}は3＋4iが二次方程式 ⅹ^{２}－６ｘ＋２５＝0の解になることを利用すると三項
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間漸化式$$
a_{ｎ＋２} ＝ ６a_{ｎ＋１} －２５ a_{ｎ}
a_{１} ＝ ３＋４i a_{２} ＝－７＋２４i
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の一般項となります。
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Im( a_{n} )について考えると（Imは虚部を表わす記号）
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Im( a_{ｎ＋２} ）＝６Im( a_{ｎ＋１} ）－２５Im（ a_{ｎ}）
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となります。$$
Im( a_{２} ）＝２４ Im( a_{１} ）＝４ なので
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mod5について考えると数学的帰納法で$$
Im( a_{ｎ}） \equiv 0(mod5)とはならないことが分かる
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ゆえにIm（ a_{ｎ} ） \neq ０となるので a_{ｎ} は実数にならない
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\Box
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よって$ \frac{α}{ \pi} $は無理数です。
なので３：４：５の三角形の鋭角の大きいほうを$$
ｘ^{\circ} とするとｘ＝ \frac{３６０α}{２ \pi}＝１８０× \frac{α}{ \pi}なのでxは無理数となります
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