Minkowskiの定理を使った四平方和定理の証明

数の幾何学において最も基本的な定理として、Minkowskiの定理がある。

証明は Wikipediaの該当記事 あるいは Cassels (1997), Chapter III.2.2, pp. 71--72, Nathanson (1996), Chapter 6.2, pp. 174--176 などを参照されたい。また、Wikipediaの該当記事にはこの定理を用いたFermatの二平方和定理（$4m+1$ の形の素数は2つの平方数の和であらわされる）の証明も掲載されているので、そちらも参照されたい。

さて、Wikipediaの該当記事にあるように、Minkowskiの定理を使ってLagrangeの四平方和定理、つまりすべての自然数は4個の平方数の和であらわされることを示すこともできる。本記事ではその証明を行う。証明は Cassels (1997), Chapter III.7.3, pp. 99--102 を参考とした。Nathanson (1996), Chapter 6.3, pp. 177--179 にはやや筋道の異なる証明（先に $a^2+b^2+1\equiv 0(\mathrm{mod}n)$ を一般の $n$ について示す）がある。

まず、半径 $R$ の4次元球体の体積を求める。これは
$$\begin{array}{rl}{\int }_{x^2+y^2+z^2+w^2\le R^2}dxdydzdw=& {\int }_{-R}^R\left({\int }_{x^2+y^2+z^2\le R^2-w^2}dxdydz\right)dw\\ =& {\int }_{-R}^R\frac{4\pi }{3}(R^2-w^2{)}^{3/2}dw\\ =& \frac{4\pi }{3}{R}^4{\int }_{-1}^1(1^2-t^2{)}^{3/2}dt\end{array}$$
となる。最後の積分は
$${\int }_{-1}^1(1^2-t^2{)}^{3/2}dt={\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}{\cos }^4\theta d\theta$$
と変形できるが、よく知られているように $k=1,2,\dots$ に対して
$$\begin{array}{rl}{\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}{\cos }^{2k}\theta d\theta =& (2k-1){\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}{\sin }^2\theta {\cos }^{2(k-1)}\theta d\theta \\ =& (2k-1)({\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}{\cos }^{2(k-1)}\theta d\theta -{\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}{\cos }^{2k}\theta d\theta )\end{array}$$
となることを用いて
$${\int }_{-1}^1(1^2-t^2{)}^{3/2}dt={\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}{\cos }^4\theta d\theta =\frac{3}{4}{\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}{\cos }^2\theta d\theta =\frac{3}{8}\pi$$
がわかるので、半径 $R$ の4次元球体の体積は
$$\frac{4\pi }{3}{R}^4\times \frac{3\pi }{8}=\frac{{\pi }^2{R}^4}{2}\cdots (1)$$
である。

次に$p>0$ が素数ならば $a^2+b^2+1\equiv 0(\mathrm{mod}p)$ となる整数 $a,b$ がとれることを示す。

$p=2$ のときは $(a,b)=(1,0)$ ととれるので、$p$ が奇素数の場合を考える。
$0\le u<v\le (p-1)/2,u\ne v$ のとき $0<v-u,v+u<p$ だから $v^2\ne u^2(\mathrm{mod}p)$ である。
よって $A$ を $a^2(a=0,1,\dots ,(p-1)/2)$ を $p$ で割った余り全体の集合、
$B$ を $-(b^2+1)(b=0,1,\dots ,(p-1)/2)$ を $p$ で割った余り全体の集合とすると
$$\mathrm{\#}A=\mathrm{\#}B=(p+1)/2$$
が成り立つ。 $A,B$ はいずれも $\{0,1,\dots ,p-1\}$ の部分集合だから
$$\mathrm{\#}(A\cap B)=\mathrm{\#}A+\mathrm{\#}B-\mathrm{\#}(A\cup B)\ge p+1-p=1$$
より $A\cap B\ne \mathrm{\varnothing }$ である。したがって $a^2\equiv -(b^2+1)(\mathrm{mod}p)$ つまり
$$a^2+b^2+1\equiv 0(\mathrm{mod}p)$$
となる $a,b$ がとれる。

$m=p_1{p}_2\cdots p_k$ を相異なる素数の積とすると、先に述べたことから各 $p_i$ に対して $a_i^2+b_i^2+1\equiv 0(\mathrm{mod}p)$ となる整数 $a_i,b_i$ がとれる。中国式剰余定理より
$$a\equiv a_i(\mathrm{mod}{p}_i),b\equiv b_i(\mathrm{mod}{p}_i)\cdots (2)$$
がすべての $i=1,2,\dots ,k$ に対して同時に成り立つ $a,b$ がとれる。
$$(m,0,0,0),(0,m,0,0),(a,b,1,0),(b,-a,0,1)$$
で生成される格子を $L$ とおくと $(u_1,u_2,u_3,u_4)\in L$ のとき
$$u_1\equiv a{u}_3+b{u}_4,u_2\equiv b{u}_3-a{u}_4(\mathrm{mod}m)\cdots (3)$$
（2021/8/4訂正 : $u_1,u_2$ と $u_3,u_4$ の役割を取り違えていたのを訂正）
が成り立つ。さらに
$$\det L=\det \left(\begin{array}{cccc}m& 0& a& b\\ 0& m& b& -a\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)=m^2$$
となる。

すると原点を中心とする、半径 $\sqrt{2m}$ の4次元球体を $B$ とすると $B$ の体積は (1) より $2{\pi }^2{m}^2>16m^2=2^4\det \left(L\right)$ となるからMinkowskiの定理より、 $B$ の内部には原点とは異なる $L$ の点が含まれる。つまり $0<u_1^2+u_2^2+u_3^2+u_4^2<2m$ かつ (3) が成り立つ整数 $u_1,u_2,u_3,u_4$ がとれる。
$$u_1^2+u_2^2\equiv (a{u}_3+b{u}_4{)}^2+(b{u}_3-a{u}_4{)}^2\equiv (a^2+b^2)(u_3^2+u_4^2)(\mathrm{mod}m)$$
なので
$$u_1^2+u_2^2+u_3^2+u_4^2\equiv (a^2+b^2+1)(u_3^2+u_4^2)(\mathrm{mod}m)$$
となる（2021/8/4訂正 : $u_1,u_2$ と $u_3,u_4$ の役割を取り違えていたのを訂正）。(2) と $a_i,b_i$ のとり方から各 $i$ に対して
$$a^2+b^2+1\equiv 0(\mathrm{mod}{p}_i)$$
つまり各 $p_i$ は $a^2+b^2+1$ を割り切るから $m=p_1{p}_2\cdots p_k$ も $a^2+b^2+1$ を割り切るので
$$u_1^2+u_2^2+u_3^2+u_4^2\equiv (a^2+b^2+1)(u_3^2+u_4^2)\equiv 0(\mathrm{mod}m)$$
である。しかし 先に述べたように $0<u_1^2+u_2^2+u_3^2+u_4^2<2m$ であるから
$$u_1^2+u_2^2+u_3^2+u_4^2=m\cdots (4)$$
である。つまり $m$ は $4$つの平方数の和であらわされる。

最後に $n$ を一般の正の整数とすると、$n=m{d}^2$ となる整数 $d$ と、相異なる素数の積からなる数 $m$ がとれる（$m$ は $n$ をちょうど奇数回割り切る素数すべての積となる）。
(4) をつかって
$$n=d^2(u_1^2+u_2^2+u_3^2+u_4^2)=(d{u}_1{)}^2+(d{u}_2{)}^2+(d{u}_3{)}^2+(d{u}_4{)}^2$$
とあらわされる。

もちろん$0$ は $0^2+0^2+0^2+0^2$ とあらわされるから、任意の自然数は$4$つの平方数の和であらわされることが示された。

参考文献

J. W. S. Cassels, An Introduction to the Geometry of Numbers, Springer-Verlag, 1959, pbk of 2nd ed., 2013, doi: 10.1007/978-3-642-62035-5

Melvyn B. Nathanson, Additive Number Theory: Inverse Problems and the Geometry of Sumsets (Graduate Texts in Math. 165), Springer-Verlag, 1996.