この記事では数列の母関数を考えることで,鮮やかに計算できる例を紹介します。
具体的に以下の問題を考えながら話を進めていきます。
⑴
二項定理や組み合わせについて知っていれば,この問題はそれほど難しいものではありません。
⑴ですと二項定理から,
と
次に⑵についても考えたいですが,次の結果が成り立つことを用いてみます。(証明は簡単ですのでここでは省略します。)
よって,
と計算できます。途中で
であることも分かりました。
最後に⑶を考えます。補題 1 の①式より,正の整数
が成り立ちますので,
です。よって⑵と同様に式変形をしていけば,おのずと
と計算できます。
そもそも数列の母関数ってなんだっけ?という場合がありますので,一応定義しておきます。
有限数列
という
母関数を用いて先ほどの問題に別解を与えてみます。
まずは⑴です。数列
です。この⭐式に
と求められます。
次に⑵について考えてみましょう。⑵では
ここに
では⑶はどうするのだろうというと,積分 を実行してみたいです。特に⭐式の両辺を
となります。(有限和なのでΣと積分の順序交換を気にせず変形できます。最高。)
それぞれの左辺と右辺を計算することで,
を得ます。これが⑶の答えです。
数列に対して関数を考えることで,微分や積分といった操作が可能になり,より複雑な級数の和を求めることができるようになります。逆に母関数を弄ることで新たな級数の和を発見できるかもしれません。これは母関数を考える1つの利点と言えるでしょう。
先程の⑵の類似として,次の和を計算してみます。
これを考えるために,やはり⭐式から始めてみましょう。⭐式を
と計算できました。この両辺に
です。さらにこの両辺を
となります。この式に
と計算できました。このように微分して
母関数の考えを用いて
この両辺を微分して,
この両辺に
と求められます。
今回は有限数列のみに話を絞ったため,あまり深い話は出来ませんでしたが,それでも十分面白い話だと思います。
無限数列に対して母関数を考えてあげる話は非常に奥が深く,きれいな理論もあります。例えば以下の参考文献では,母関数への愛が感じられますので,ぜひ閲覧してみてください。(邦訳があるかは存じていません。)
(参考文献のpdfは https://www2.math.upenn.edu/~wilf/DownldGF.html にて閲覧できます。)