

&&& 
$$
Pn=\sum_{k=1}^{n}
  { 3n \choose3 k-1 } 2 ^{k}  


$$

&&&
2項係数の定義に持ち込むためには、2の指数部分を無理矢理3k-1にしなければなりません
$$
 （与式）= \sqrt[3]{2} \sum_{k=1}^{n} { 3n \choose3 k-1 }( \sqrt[3]{2})^{3k-1} 
    
$$
$$
 (1+ \sqrt[3]{2}x)^{3n}= \sum_{k=0}^{3n} { 3n \choose k }(\sqrt[3]{2}x)^{k}    
$$
上式のx=1,ω,ω^2を代入し、それぞれ1倍,ω倍,ω^2倍したものを辺々足して
$$
 3Pn= \sqrt[3]{2} \lbrace (1+  \sqrt[3]{2})^{3n}+\omega (1+  \sqrt[3]{2} \omega )^{3n}+ \omega  ^{2}  (1+  \sqrt[3]{2} \omega ^{2})^{3n}   \rbrace   
$$
$$
\Longleftrightarrow Pn= \frac{\sqrt[3]{2}}{3} \lbrace (1+\sqrt[3]{2} )^{3n}+2Re({\omega(1+\sqrt[3] {2}\omega)^{3n
})} \rbrace$$  
テキトーに作ったら計算爆発したのでこのへんでやめときます



二項係数の問題の解答

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