二項係数の問題の解答

2項係数の定義に持ち込むためには、2の指数部分を無理矢理3k-1にしなければなりません
$$ （与式）= \sqrt[3]{2} \sum_{k=1}^{n} { 3n \choose3 k-1 }( \sqrt[3]{2})^{3k-1} $$
$$ (1+ \sqrt[3]{2}x)^{3n}= \sum_{k=0}^{3n} { 3n \choose k }(\sqrt[3]{2}x)^{k} $$
上式のx=1,ω,ω^2を代入し、それぞれ1倍,ω倍,ω^2倍したものを辺々足して
$$ 3Pn= \sqrt[3]{2} \lbrace (1+ \sqrt[3]{2})^{3n}+\omega (1+ \sqrt[3]{2} \omega )^{3n}+ \omega ^{2} (1+ \sqrt[3]{2} \omega ^{2})^{3n} \rbrace $$
$$ \Longleftrightarrow Pn= \frac{\sqrt[3]{2}}{3} \lbrace (1+\sqrt[3]{2} )^{3n}+2Re({\omega(1+\sqrt[3] {2}\omega)^{3n })} \rbrace$$
テキトーに作ったら計算爆発したのでこのへんでやめときます