Twitterの問題の解説2

はじめに

この記事では, Twitterで出した, 以下の問題の解説を書こうと思います.

$(1)$

整数$p,q$に対し ${\displaystyle {\int }_0^{2\pi }\cos p\theta \cos q\theta d\theta }$ を求めます. これはよくあるやつですね.
$$

$[1]p=q=0$ のとき

$${\int }_0^{2\pi }\cos p\theta \cos q\theta d\theta ={\int }_0^{2\pi }d\theta =2\pi$$
となります.
$$

$[2]p=\pm q(\ne 0)$ のとき

$$\begin{array}{rcl}{\int }_0^{2\pi }\cos p\theta \cos q\theta d\theta & =& {\int }_0^{2\pi }{\cos }^{2}p\theta d\theta \\ & =& {\int }_0^{2\pi }\frac{1+\cos 2p\theta }{2}d\theta \\ & =& [\frac{\theta }{2}+\frac{\sin 2p\theta }{4p}{]}_0^{2\pi }\\ & =& \pi \end{array}$$
となります.
$$

$[3]p\ne \pm q$ のとき

いわゆる積和の公式より,
$$\begin{array}{rcl}{\int }_0^{2\pi }\cos p\theta \cos q\theta d\theta & =& \frac{1}{2}{\int }_0^{2\pi }(\cos (p+q)\theta +\cos (p-q)\theta )d\theta \\ & =& \frac{1}{2}[\frac{\sin (p+q)\theta }{p+q}+\frac{\sin (p-q)\theta }{p-q}{]}_0^{2\pi }\\ & =& 0\end{array}$$
となります.
$$

$(2)$

自然数$n$に対し ${\cos }^{2n}\theta$を$\cos k\theta (k=1,2,\dots ,2n)$で表します. 少し工夫がいるかもしれない, 大事なところです.

問題文にあるとおり, $f(\theta )=\cos \theta +i\sin \theta$とおくと${\displaystyle \cos \theta =\frac{f(\theta )+f(-\theta )}{2}}$ であるので,

$$\begin{array}{rcl}{\cos }^{2n}\theta & =& (\frac{f(\theta )+f(-\theta )}{2}{)}^{2n}\\ & =& \frac{1}{2^{2n}}\sum _{k=0}^{2n}{}_{2n}{\mathrm{C}}_{k}f(\theta {)}^{2n-k}f(-\theta {)}^k\\ & =& \frac{1}{2^{2n}}\sum _{k=0}^{2n}{}_{2n}{\mathrm{C}}_k(\cos \theta +i\sin \theta {)}^{2n-k}(\cos \theta -i\sin \theta {)}^k\\ & =& \frac{1}{2^{2n}}\sum _{k=0}^{2n}{}_{2n}{\mathrm{C}}_k(\cos \theta +i\sin \theta {)}^{2n-2k}\\ & =& \frac{1}{2^{2n}}\sum _{k=0}^{2n}{}_{2n}{\mathrm{C}}_k\cos (2n-2k)\theta \\ & =& \frac{{}_{2n}{\mathrm{C}}_n}{2^{2n}}+\frac{1}{2^{2n-1}}\sum _{k=1}^n{}_{2n}{\mathrm{C}}_{n-k}\cos 2k\theta \end{array}$$
となります. ただし, 最後の行で足す順番を変えました. ($\cos$内が正と負のときで値が同じになるのでまとめて, さらに$k=n$のときだけ特殊なのでΣの外に出しました.)
$$

$(3)$

自然数$m,n$に対し ${\displaystyle {\int }_0^{2\pi }\cos 2m\theta {\cos }^{2n}\theta d\theta }$ を求めます. もちろん$(1),(2)$を使います.

$$\begin{array}{rcl}& & {\int }_0^{2\pi }\cos 2m\theta {\cos }^{2n}\theta d\theta \\ & =& {\int }_0^{2\pi }\cos 2m\theta (\frac{{}_{2n}{\mathrm{C}}_n}{2^{2n}}+\frac{1}{2^{2n-1}}\sum _{k=1}^n{}_{2n}{\mathrm{C}}_{n-k}\cos 2k\theta )d\theta \end{array}$$

ここで, $(1)$より, $\cos$の中身が同じもののみ, 値に影響してくることを利用します. $m>n$のとき, 中身が同じになるような項はなく, 積分値は$0$です. $m\leqq n$のとき,

$$\begin{array}{rcl}& & {\int }_0^{2\pi }\cos 2m\theta {\cos }^{2n}\theta d\theta \\ & =& {\int }_0^{2\pi }\cos 2m\theta (\frac{{}_{2n}{\mathrm{C}}_n}{2^{2n}}+\frac{1}{2^{2n-1}}\sum _{k=1}^n{}_{2n}{\mathrm{C}}_{n-k}\cos 2k\theta )d\theta \\ & =& {\int }_0^{2\pi }\cos 2m\theta \cdot \frac{{}_{2n}{\mathrm{C}}_{n-m}}{2^{2n-1}}\cos 2m\theta d\theta \\ & =& \frac{{}_{2n}{\mathrm{C}}_{n-m}}{2^{2n-1}}\pi \end{array}$$
と, 求めることができました.
$$

ちなみに, ここで$m=0$としてみると

$$\begin{array}{rcl}{\int }_0^{2\pi }{\cos }^{2n}\theta d\theta & =& {\int }_0^{2\pi }(\frac{{}_{2n}{\mathrm{C}}_n}{2^{2n}}+\frac{1}{2^{2n-1}}\sum _{k=1}^n{}_{2n}{\mathrm{C}}_{n-k}\cos 2k\theta )d\theta \\ & =& {\int }_0^{2\pi }\frac{{}_{2n}{\mathrm{C}}_n}{2^{2n}}d\theta \\ & =& \frac{{}_{2n}{\mathrm{C}}_n}{2^{2n}}\cdot 2\pi \end{array}$$

ところで${\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\cos }^{2n}\theta d\theta =4{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{2n}\theta d\theta }$ なので

$$\begin{array}{rcl}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{2n}\theta d\theta & =& \frac{{}_{2n}{\mathrm{C}}_n}{2^{2n}}\cdot \frac{\pi }{2}\\ & =& \frac{(2n)!}{(2^{n}n!{)}^2}\cdot \frac{\pi }{2}\\ & =& \frac{2n\cdot (2n-1)\cdot (2n-2)\cdots 1}{(2n\cdot (2n-2)\cdot (2n-4)\cdots 2{)}^2}\cdot \frac{\pi }{2}\\ & =& \frac{2n-1}{2n}\cdot \frac{2n-3}{2n-2}\cdots \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}\end{array}$$
という良く知られた結果を得ます！ これの, 漸化式を立てない導き方もあるというのが少し驚きました！😳