記事作成の練習がてら，ウォリスの公式
$$\sqrt{\pi} \sim \frac{ 2^{2n}(n!)^2 }{ \sqrt{n}(2n)! }$$を導出してみます．
始めに，
$$S_{n} = \int^{\pi/2}_{0}\sin^{n}{x}dx
$$を考えます．これは，$n$が奇数のときと，偶数のときで結果が異なり，次のようになります．
$$
\begin{align}
S_{2n+1} &=\frac{2n}{2n+1}\cdot\frac{2n-2}{2n-1}\cdots\frac{2}{3} \\
S_{2n} &= \frac{2n-1}{2n}\cdot\frac{2n-3}{2n-2}\cdots\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}
\end{align}
$$これらの積を考えると，共通する項は打ち消し合うので，
$$
\begin{align}
S_{2n+1}S_{2n}&=\frac{1}{2n+1}\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{4n+2} \\
\Longrightarrow S_{2n+1}\sqrt{\frac{S_{2n}}{S_{2n+1}}}&=\sqrt{\frac{\pi}{4n+2}} \hspace{30mm} \cdots(1)
\end{align}
$$ところで，$0 < x < \frac{\pi}{2}$のとき$0 < \sin{x} < 1 $であることから，次の不等式が成り立ちます．
$$
\begin{align}
0 < S_{2n+1} &< S_{2n} < S_{2n-1} \\
\Longrightarrow 1 &< \frac{S_{2n}}{S_{2n+1}} < \frac{S_{2n-1}}{S_{2n+1}}
\end{align}
$$ここで，
$$\lim_{n\to\infty}{\frac{S_{2n-1}}{S_{2n+1}}}=\lim_{n\to\infty}{\frac{2n+1}{2n}}=1
$$より，挟み撃ちの原理から
$$\lim_{n\to\infty}{\frac{S_{2n}}{S_{2n+1}}}=1
$$したがって，(1)式を変形して両辺の極限をとると，
$$
\begin{align}
&\lim_{n\to\infty}{\sqrt{n}S_{2n+1}\sqrt{\frac{S_{2n}}{S_{2n+1}}}} = \lim_{n\to\infty}{\sqrt{\frac{\pi}{4+\frac{2}{n}}}} \\
\Longrightarrow &\lim_{n\to\infty}{\sqrt{n}S_{2n+1}} = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \hspace{30mm} \cdots(2)
\end{align}
$$ところで，$S_{2n+1}$は階上記号を用いて，次の様に書き直すことができます．
$$ S_{2n+1} = \frac{ 2^{2n}(n!)^2 }{ (2n+1)! }
$$よって，(2)に代入して両辺を整理すると，
$$
\begin{align}
\sqrt{\pi} &= \lim_{n\to\infty}{ 2\sqrt{n}\cdot\frac{ 2^{2n}(n!)^2 }{ (2n+1)! }}\\
&= \lim_{n\to\infty}{ \frac{2n}{2n+1} \cdot \frac{ 2^{2n}(n!)^2 }{ \sqrt{n}(2n)! } }
\end{align}
$$
以上より，
$$
\sqrt{\pi} \sim \frac{ 2^{2n}(n!)^2 }{ \sqrt{n}(2n)! }
$$